Complex de cadenes

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

A àlgebra abstracta un conjunt  \{A_i, \, \delta_i \} consistent en estructures algebraiques Ai (ja siguin grups abelians, anells, mòduls, ...) i  \delta_i morfismes (segons sigui la categoria), es diu complex de cadenes o complex homològic si la construcció

\ldots \longrightarrow A_{n+1} \xrightarrow{\delta_{n+1}} A_n \xrightarrow{\,\delta_n\,} A_{n-1} \longrightarrow \ldots

satisfà \delta_{n+1}\circ \delta_n = 0 per a tot n. Aquesta condició implica \operatorname{im} \delta_{n+1}\subseteq \ker \delta_n \, . Aquest concepte és clau per entendre el que és l'homologia.

Notació[modifica | modifica el codi]

El símbol A_{\bullet} s'utilitza per a designar al parell  \{A_i, \, \delta_i \}.

Homologia[modifica | modifica el codi]

Les estructures quocient

 H_n (A_{\bullet}) = \ker \delta_n / \operatorname{im}\delta_{n+1}\,

s'anomenen espais d'homologia del complex de cadenes  A_{\bullet}.

Aquesta última construcció és l'origen de l'àlgebra homològica i té nombroses aplicacions en altres disciplines de la matemàtica com ara a la topologia algebraica, que la compta com una de les seves principals eines.

Morfisme entre complexos[modifica | modifica el codi]

El morfisme de complexos  \{f_i \} = f_{\bullet}\colon A_\bullet \to B_\bullet. La condició de morfisme de complexos demana que el diagrama sigui commutatiu.

Un morfisme (de grau zero) entre dos complexos  A_{\bullet}= \{A_q, \, \delta_q \} i  B_{\bullet}= \{B_q, \, \gamma_q \} és un conjunt  f_{\bullet}= \{f_q \} de morfismes entre les estructures algebraiques  A_q \xrightarrow{f_q} B_q tals que  f_q \circ \delta_{q+1}= \gamma_{q+1}\circ f_{q+1}. Simbòlicament  f_{\bullet}\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet} indica el mateix.

Un morfisme de grau d correspon a una família de morfismes  A_q \xrightarrow{g_q} B_{q-d} amb la mateixa propietat  g_q \circ \delta_{q+1}= \gamma_{q+1}\circ g_{q+1}

Com a categoria[modifica | modifica el codi]

Des del punt de vista de teoria de categories tenim ben definida la categoria de complexos de cadenes amb els morfismes de complexos.

Una aplicació d'aquesta categoria és que les principals teories de la topologia algebraica com ara l'homologia singular són veritables functors, perquè assignen a un parell topològic (X, A) una família de grups abelians \{H_n (X, A) \}_n que formaran un complex de cadenes

 \cdots \to H_i (A) \to H_i (X) \to H_i (X, A) \to H_{i-1}(A) \to \cdots

i on una aplicació contínua  f \colon (X, A) \to (I, B) entre parells topològics indueix un conjunt de morfismes

 f_{\#}\colon H_i (A) \to H_i (B),\quad f_{\#}\colon H_i (X) \to H_i (I),\quad f_{\#}\colon H_i (X, A) \to H_i (I, B)

amb les propietats suficients per tal de considerar-los un morfisme de complexos.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]