Composició funcional

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la funció composició és l'aplicació d'una funció al resultat d'una altra. Per exemple, les funcions fX → Y i gY → Z es poden compondre aplicant primer f a un argument x i llavors aplicant g al resultat. Així s'obté una funció gf: X → Z definida per (gf)(x) = g(f(x)) per a tot x de X. La notació gf segons alguns autors es llegeix com "f composta amb g"[1] segons altres autors com "composició de g amb f" [2]

gf, la composició de f i g

La composició de funcions és sempre associativa. És a dir, si f, g, i h són tres funcions amb dominis i codominis adequadament triats, llavors f∘(gh) = (fg)∘h. Com que no hi ha cap distinció en l'elecció del lloc on se situen els parèntesis, es poden ometre amb seguretat. Les funcions g and f commuten entre elles si gf = fg. En general la composició de funcions no és commutativa. La commutabilitat en la composició és una propietat especial, que només es dóna en funcions particulars i sovint només en circumstàncies especials. Per exemple, \left | x \right | + 3 = \left | x + 3 \right |\, només quan x \ge 0. Però una funció i la seva inversa sempre commuten i donen la funció identitat.

Les derivades de composicions de funcions derivables es poden calcular emprant la regla de la cadena. Derivades d'ordre superior d'aquest tipus de funcions s'obtenen per la Fórmula de Faà di Bruno.

Exemple[modifica | modifica el codi]

Com a exemple, suposeu que l'elevació d'un avió a l'instant t és donada per la funció h(t) i que la concentració d'oxigen a l'elevació x ve donada per la funció c(x). Llavors (ch)(t) dóna la concentració d'oxigen al voltant de l'avió a l'instant t.

Potències funcionals[modifica | modifica el codi]

Si Y \subseteq X then f: X\rightarrow Y es pot compondre amb si mateixa; a vegades això s'escriu amb la notació f^2\,. Així:

(f\circ f)(x) = f(f(x)) = f^2(x)
(f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f^3(x)

De la composició repetida d'una funció amb si mateixa se'n diu iteració de la funció.

De les potències funcionals f\circ f^n=f^n\circ f=f^{n+1} Per nombres naturals n\, Se'n segueix de manera immediata.

  • Per convenció, f^0= id_{D(f)}\, \big(la funció identitat en el domini de f\big).
  • Si f: X\rightarrow X admet inversa, es defineixen les potències funcionals negatives f^{-k}\, (k>0\,) com la potència oposada de la funció inversa, (f^{-1})^k\,.

Nota: si f pren els seus valors en un anell (en particular pel cas de funcions amb valors reals o complexos f ), hi ha risc de confusió, perquè n també podria referir-se a la potència nèssima del resultat de f, Per exemple f 2(x) = f(x) · f(x).

(Per a funcions trigonomètriques el significat habitual és l'últim, el menys per a exponents positius. Per exemple, en trigonometria, aquesta notació representa la exponenciació estàndard quant es fa servir en funcions trigonomètriques: sin2(x) = sin(x) · sin(x). En canvi, per a exponents negatius (especialment −1), amb no menys freqüència es refereix a la funció inversa, per exemple, tan−1 = arctan (≠ 1/tan).

En alguns casos, encara que r no sigui enter es pot trobar una expressió per a f en g(x) = f r(x) a partir de l'algoritme per calcular g. D'això se'n diu Iteració fraccionaria. Un exemple senzill podria ser quant f és la funció successor, f r(x) = x + r.

Les funcions iterades apareixen de forma natural en l'estudi dels fractals i dels sistemes dinàmics.

Monoide composició[modifica | modifica el codi]

Suposeu que es tenen dues (o més) funcions f: XX, g: XX que tenen el mateix domini i rang. Llavors es poden formar llargues i potencialment complicades cadenes d'aquestes funcions a base de compondre-les entre elles, com ara, ffgf. Aquestes llargues cadenes tenen l'estructura algebraica d'un monoide, de vegades se'n diu el monoide composició. En general, els monoides composició poden tenir estructures remarcablement complicades. Un exemple particularment notable és la corba de De Rham. Del conjunt de totes les funcions f: XX se'n diu el semigrup de transformació completa de X.

Si les funcions són bijectives, llavors el conjunt de totes les possibles transformacions d'aquestes funcions forma un grup; i es diu que és el generat per aquestes funcions.

El conjunt de totes les funcions bijectives fX → X formen un grup respecte de l'operador composició. Aquest és el grup simètric, de vegades també se'n diu el grup composició.

Notació alternativa[modifica | modifica el codi]

A mitjan segle XX, alguns matemàtics varen decidir que el fet d'escriure "gf" per a dir "primer apliqueu f, després apliqueu g" era massa confús i varen decidir de canviar les notacions. Escriviren "xf" per "f(x)" i "xfg" per "g(f(x))". Això pot ser més natural i sembla més senzill que escriure funcions des de l'esquerra en algunes àrees.

La Teoria de categories fa servir f;g alternativament amb gf.

Operador composició[modifica | modifica el codi]

Donada una funció g, l'operador composició C_g es defineix com aquell operador que aplica funcions a funcions com

C_g f = f \circ g.

Els operadors composició s'estudien en el camp de la teoria d'operadors.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]