Conjectura de Dyson

Freeman Dyson, 2005

En matemàtiques, la conjectura de Dyson és una conjectura sobre el terme constant de certs polinomis de Laurent, demostrada per Wilson i Gunson. Andrews ho va generalitzar a la conjectura de q-Dyson, demostrada per Zeilberger i Bressoud i de vegades anomenat teorema de Zeilberger-Bressoud. Macdonald el va generalitzar a sistemes arrels més generals amb la conjectura de terme constant de Macdonald, demostrada per Cherednik.

La conjectura de Dyson

La conjectura de Dyson afirma que el polinomi de Laurent

$\prod _{1\leq i\neq j\leq n}(1-t_{i}/t_{j})^{a_{i}}$

té el terme constant

${\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})!}{a_{1}!a_{2}!\cdots a_{n}!}}.$

Wilson i Gunson van demostrar la conjectura per primera vegada de manera independent. Després, Good va trobar una prova curta en observar que els polinomis de Laurent, i per tant els seus termes constants, satisfan les relacions de recursió

$F(a_{1},\dots ,a_{n})=\sum _{i=1}^{n}F(a_{1},\dots ,a_{i}-1,\dots ,a_{n}).$

En el cas n = 3 de la conjectura de Dyson es desprèn de la identitat de Dixon.

Sills, Zeilberger i Sills va utilitzar un ordinador per trobar expressions per a coeficients no constants de Dyson del polinomi Laurent.

La integral de Dyson

Quan tots els valors a_i són igual a β/2, el terme constant en la conjectura de Dyson és el valor de la integral de Dyson

${\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\prod _{1\leq j<k\leq n}|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}|^{\beta }\,d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}.$

La integral de Dyson és un cas especial de la integral de Selberg després d'un canvi de variable, i val

${\frac {\Gamma (1+\beta n/2)}{\Gamma (1+\beta /2)^{n}}}$

que dona una prova més de la conjectura de Dyson en aquest cas especial.

La conjectura de q-Dyson

Andrews va trobar un q-anàleg de la conjectura de Dyson, afirmant que el terme constant de

$\prod _{1\leq i<j\leq n}\left({\frac {x_{i}}{x_{j}}};q\right)_{a_{i}}\left({\frac {qx_{j}}{x_{i}}};q\right)_{a_{j}}$

és

${\frac {(q;q)_{a_{1}+\cdots +a_{n}}}{(q;q)_{a_{1}}\cdots (q;q)_{a_{n}}}}.$

Aquí (a;q)_n és el símbol q-Pochhammer.

La conjectura de Macdonald

Macdonald va estendre la conjectura a sistemes arrels finits o afins arbitraris, amb la conjectura original de Dyson corresponent al cas del sistema radicular A_n-1 i la conjectura d'Andrews corresponent al sistema arrel afí U_n-1. Macdonald va reformular aquestes conjectures com a conjectures sobre les normes dels polinomis de Macdonald. Cherednik va provar les conjectures de Macdonald amb àlgebres de Hecke doblement afines.

La forma de Macdonald de la conjectura de Dyson per a sistemes radicals del tipus BC està estretament relacionada amb la integral de Selberg.

Bibliografia

• Andrews, George E «Theory and application of special functions (Proc. Advanced Sem., Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1975)» (en anglès). Academic Press [Boston, MA], 1975, pàg. 191–224.
• Cherednik, I «Double Affine Hecke Algebras and Macdonald's Conjectures» (en anglès). The Annals of Mathematics, 141(1), 1995, pàg. 191–216. DOI: 10.2307/2118632. JSTOR: 2118632.
• Dyson, Freeman J. «Statistical theory of the energy levels of complex systems. I» (en anglès). Mathematical Physics, 3, 1962, pàg. 140–156. DOI: 10.1063/1.1703773. ISSN: 0022-2488.
• Good, I. J «Short proof of a conjecture by Dyson» (en anglès). Mathematical Physics, 11(6), 1970, pàg. 1884. DOI: 10.1063/1.1665339. ISSN: 0022-2488.
• Gunson, J «Proof of a conjecture by Dyson in the statistical theory of energy levels» (en anglès). Mathematical Physics, 3(4), 1962, pàg. 752–753. DOI: 10.1063/1.1724277. ISSN: 0022-2488.
• Macdonald, I. G «Some conjectures for root systems» (en anglès). SIAM publisher on Mathematical Analysis, 13(6), 1982, pàg. 988–1007. DOI: 10.1137/0513070. ISSN: 0036-1410.
• Sills, Andrew V. «Disturbing the Dyson conjecture, in a generally GOOD way» (en anglès). Combinatorial Theory, Series A, 113(7), 2006, pàg. 1368–1380. arXiv: 1812.05557. DOI: 10.1016/j.jcta.2005.12.005. ISSN: 1096-0899.
• Sills, Andrew V.; Zeilberger, Doron «Disturbing the Dyson conjecture (in a GOOD way)» (en anglès). Experimental Mathematics, 15(2), 2006, pàg. 187–191. arXiv: 1812.04490. DOI: 10.1080/10586458.2006.10128959. ISSN: 1058-6458.
• Wilson, Kenneth G «Proof of a conjecture by Dyson» (en anglès). Mathematical Physics, 3(5), 1962, pàg. 1040–1043. DOI: 10.1063/1.1724291. ISSN: 0022-2488.
• Zeilberger, Doron; Bressoud, David M «A proof of Andrews' q-Dyson conjecture» (en anglès). Discrete Mathematics, 54(2), 1985, pàg. 201–224. DOI: 10.1016/0012-365X(85)90081-0. ISSN: 0012-365X.