Conjectura de Fermat–Catalan

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

La conjectura de Fermat–Catalan en la teoria de nombres, combina idees del darrer teorema de Fermat i de la conjectura de Catalan, d'on prové el seu nom. La conjectura postula que l'equació

(1)

té un nombre finit de solucions (a,b,c,m,n,k); aquí a, b, c són nombres enters positius coprimers i m, n, k són enters positius que compleixen

(2)

A data de 2008, es coneixien les segúents solucions de (1):[1]

La primera d'elles (1m+23=32) és l'única solució on una de les variables a, b o c és 1; aquesta és la conjectura de Catalan, demostrada l'any 2002 per Preda Mihăilescu. Tècnicament, aquest cas produeix un nombre infinit de solucions de (1) (donat que es pot escollir qualsevol m per a m>6), perà als efectes de l'enunciat de la conjectura de Fermat-Catalan es comptabilitzaran totes aquestes solucions com una de sola.

Es coneix mitjançant el teorema de Faltings, que per a qualsevol elecció fixada d'enters positius m, n i k que compleixin (2), existeix únicament un nombre finit de tuples de nombres enters coprimers (abc) que resolen (1).

La conjectura abc implica la conjectura de Fermat–Catalan.[1]

Referències[modifica]

  1. 1,0 1,1 Pomerance, Carl (2008), "Computational Number Theory", in Gowers, Timothy; Barrow-Green, June & Leader, Imre, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, pàg. 361–362, ISBN 9780691118802