Conjunt connex

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un conjunt connex (connexió) per a un espai topològic és molt natural. Així, es diu que un espai és disconnex si és possible dividir-lo en dos conjunts oberts amb intersecció trivial. En cas contrari, es diu que l'espai és connex.

Definició[modifica | modifica el codi]

Siga un espai topològic on n'és la topologia.

Direm que un subconjunt és disconnex si tal que .

Es diu doncs que C és connex en el cas que no sigui disconnex

Exemples[modifica | modifica el codi]

Conjunts connexos[modifica | modifica el codi]

  • Les esferes són connexes
  • Un punt en és connex
  • Un nus és un conjunt connex en
  • Un tor és un conjunt connex en
  • En , un conjunt és connex si i només si és un interval (matemàtiques)
  • El complementari d'un punt en és connex

Conjunts disconexos[modifica | modifica el codi]

  • El complementari d'un punt en
  • El conjunt format per la unió de dues esferes disjuntes a
  • Un enllaç de components (nusos)

Propietats dels conjunts connexos[modifica | modifica el codi]

Es compleix que si és un espai topològic connex, qualsevol espai homeomorfa a ell també ho serà. Aquesta propietat ens dóna una caracterització molt útil dels conjunts connexos: és un conjunt connex si i només si per a tota funció contínua, es compleix que és una funció constant, on a (topologia discreta).

La imatege per una aplicació contínua d'un conjunt connex és connexa.

Una altra propietat interessant dels conjunts connexos és la següent: Si és una família d'espais topològics connexos (amb un conjunt d'índexs de qualsevol cardinalitat), llavors també és connex, on és la topologia producte.

Finalment, si no és connex, és a dir, si hi ha oberts disjunts no buits tals que la seva unió és , és fàcil veure que cada obert serà el complement de l'altre, després seran complements d'un obert, i per tant, seran tancats. És a dir, seran conjunts clopen. Per això, una altra manera de caracteritzar la connexitat és a dir: serà connex si i només si els únics clopen són (on tots dos conjunts són sempre clopen).

Connexió per arcs[modifica | modifica el codi]

Article principal: Espai connex per camins

Direm que un conjunt és connex per camins o arc connex si donats hi ha un camí continu tal que i .

Pinta del topòleg

La connexitat per camins implica connexitat, però el recíproc no és cert en general. Un contraexemple molt típic és l'anomenat pinta del topòleg, , on i . és connex, però no connex per camins.

Ser connex per camins no és una propietat hereditària (és a dir, si un conjunt és connex per camins, qualsevol subconjunt d'aquest no és necessàriament connex per camins). Però, ser connex per camins és una propietat topològica (és a dir, la imatge mitjançant una aplicació contínua d'un conjunt connex per camins és connexa per camins).

Components connexes[modifica | modifica el codi]

Donat un espai topològic disconnex s'anomena component connexa, a cada un dels conjunts maximals connexos. És a dir un subconjunt és un component connexa si es compleixen aquestes dues condicions:

  1. és connex.
  2. Qualsevol conjunt que conté pròpiament a és disconex.

Es compleix que les components connexes de formen una partició de .