Conjunt de Borel

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

Un conjunt de Borel és un element de l'anomenada σ-àlgebra de Borel, la qual no és més que la mínima σ-algebra que conté una topologia donada. Com caracterització alternativa, també es pot dir que un conjunt de Borel és qualsevol conjunt obtingut mitjançant unions i interseccions numerables de conjunts tancats o oberts.

Per entendre aquesta definició és necessari conèixer el que són una σ-àlgebra i una topologia. Per contra, saber que Émile Borel va ser un matemàtic francès no ajuda gaire, encara que dóna cultura.

Introducció[modifica]

Donats dos conjunts A i B, es diu que A és un subconjunt de B si tots els elements de A pertanyen a B. Quan un conjunt X queda definit, queden definits també la col·lecció formada per tots els seus subconjunts. Aquesta col·lecció se sol denotar per P (X) i conté de manera trivial al mateix X i al conjunt buit.

Donats dos subconjunts de X podem unir-los o intersectats per obtenir un altre subconjunt de X. Així mateix, donat un conjunt A podem considerar el seu complementari XA. Tota col·lecció de subconjunts de X tancada sota unions, interseccions o complements s'anomena una àlgebra . Si també és tancada sota unions i interseccions numerables s'anomena σ-àlgebra.

Els conjunts que pertanyen a una σ-àlgebra no tenen per si mateixos cap propietat especial. És la seva relació amb la col·lecció dels conjunts de la σ-àlgebra el que els fa especials.

Vegeu també[modifica]