Connexió Weyl

En geometria diferencial, una connexió de Weyl (també anomenada estructura de Weyl) és una generalització de la connexió Levi-Civita que té sentit en una varietat conforme. Van ser introduïts per Hermann Weyl (Weyl 1918) en un intent d'unificar la relativitat general i l'electromagnetisme. El seu enfocament, encara que no va conduir a una teoria reeixida, va conduir a més desenvolupaments de la teoria en geometria conformal, inclòs un estudi detallat d'Élie Cartan (Cartan 1943). També es van parlar a Eisenhart (1927).

Concretament, deixa $M$ ser una varietat llisa, i $[g]$ una classe conforme de tensors mètrics (no degenerats). $M$, on $h,g\in [g]$ si $h=e^{2\gamma }g$ per a una funció suau $\gamma$ (vegeu transformació de Weyl). Una connexió Weyl és una connexió afí sense torsió $M$ tal que, per a qualsevol $g\in [g]$, $$\nabla g=\alpha _{g}\otimes g$$ on $\alpha _{g}$ és una forma única segons $g$.

Si $\nabla$ és una connexió Weyl i $h=e^{2\gamma }g$, doncs ${\textstyle \nabla h=(2\,d\gamma +\alpha _{g})\otimes h}$ de manera que la forma única es transforma per ${\textstyle \alpha _{e^{2\gamma }g}=2\,d\gamma +\alpha _{g}.}$ Així, la noció d'una connexió de Weyl és conformament invariant, i el canvi d'una forma està mediat per un cocicle de Rham.

Un exemple de connexió Weyl és la connexió Levi-Civita per a qualsevol mètrica de la classe conformal $[g]$, amb $\alpha _{g}=0$. Aquest no és el cas més general, però, ja que qualsevol connexió de Weyl té la propietat de la forma única $\alpha _{h}$ està tancat per a tothom $h$ pertanyent a la classe conformal. En general, la curvatura de Ricci d'una connexió de Weyl no és simètrica. La seva part esbiaixada és la dimensió multiplicada per la forma de dues $d\alpha _{g}$, que és independent de $g$ a la classe conformal, perquè la diferència entre dos $\alpha _{g}$ és un cocicle de Rham. Així, segons el lema de Poincaré, la curvatura de Ricci és simètrica si i només si la connexió de Weyl és localment la connexió de Levi-Civita d'algun element de la classe conformal.

L'esperança original de Weyl era que la forma $\alpha _{g}$ podria representar el potencial vectorial de l'electromagnetisme (una quantitat depenent del calibre) i $d\alpha _{g}$ la intensitat del camp (una quantitat invariant de calibre). Aquesta síntesi no té èxit en part perquè el grup gauge és incorrecte: l'electromagnetisme s'associa amb un $U(1)$ camp de mesura, no an $\mathbb {R}$ camp de mesura.

Hall (1992) va demostrar que una connexió afí és una connexió de Weyl si i només si el seu grup d'holonomia és un subgrup del grup conformal. Les possibles àlgebres d'holonomia en la signatura Lorentziana es van analitzar a Dikarev (2021).

Una varietat de Weyl és una varietat que admet una connexió de Weyl global. L'anàlisi global de les varietats de Weyl s'està estudiant activament. Per exemple, LeBrun & Mason (2009) van considerar varietats completes de Weyl de manera que les equacions de buit d'Einstein es mantenen, una geometria d'Einstein-Weyl, obtenint una caracterització completa en tres dimensions.

Les connexions de Weyl també tenen aplicacions actuals en teoria de cordes i holografia.

Les connexions de Weyl s'han generalitzat a la configuració de geometries parabòliques, de les quals la geometria conformal és un cas especial, a Čap & Slovák (2003).