Constant de Gelfond-Schneider

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
No s'ha de confondre amb Constant de Gelfond.

La constant de Gelfond-Schneider, també anomenada nombre de Hilbert és igual a:

[1]

que és un nombre transcendent, segons va demostrar el matemàtic rus Rodion Kuzmin l'any 1930.[2] L'any 1934, Alexandr Gelfond va demostrar mitjançant el teorema de Gelfond-Schneider, el cas general de potències elevades a nombres irracionals algebraics, solucionant part del setè dels problemes de Hilbert.[3]

La seva fracció contínua és:

Propietats[modifica]

La seva arrel quadrada és també un nombre transcendent. El seu valor és: [4]

L'expressió equival a:

Aquest exemple es sol usar com a prova que un nombre irracional elevat a un nombre irracional pot donar un nombre racional, ja que:

Setè problema de Hilbert[modifica]

L'any 1900, en el marc del Segon Congrés Internacional de Matemàtiques celebrat a París, el matemàtic alemany David Hilbert va proposar una llista de fins a 23 problemes matemàtics per tal de motivar la comunitat matemàtica a fer avenços en la recerca durant el segle XX, que tot just començava. El setè dels problemes consistia a demostrar (o refutar mitjançant un contraexemple) que a^b és un nombre transcendent per tot valor de a algebraic diferent a 0 i 1 i per tot b algebraic irracional. En el seu discurs va donar dos exemples concrets, un dels quals era la constant de Gelfond-Schneider.

L'any 1919, en un altre discurs, va parlar de tres conjectures: la hipòtesi de Riemann, l'últim teorema de Fermat i la transcendència de la constant de Gelfond-Schneider. Va dir que no esperava que ningú de la sala arribés a veure mai la solució d'aquest últim problema. Tot i així, va ser solucionat en el seu cas general l'any 1934, amb el teorema de Gelfond-Schneider. El treball anterior de Kuzmin havia servit per demostrar la transcendència de la potència per valors de l'exponent reals irracionals quadràtics, és a dir, nombres algebraics de grau 2, solució d'una equació de segon grau de coeficients racionals.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. [enllaç sense format] http://oeis.org/A007507
  2. Kuzmin,R. O. "On a new class of transcendental numbers", Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. 7, 1930, p.585–597,http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316
  3. Gelfond, Aleksandr "Sur le septième Problème de Hilbert", Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na, VII, p.623–634, 1934, http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924
  4. [enllaç sense format] http://oeis.org/A078333