Continuació analítica maximal

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

La continuació analítica maximal és una formalització més abstracta de la noció de continuació analítica.

Sigui l'esfera de Riemann; una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert és un parell on és una superfície de Riemann (és a dir, una varietat complexa de dimensió 1) i és un biholomorfisme local exhaustiu. Una continuació analítica regular d'un element de funció holomorfa consisteix en una superfície de Riemann regular sobre un conjunt obert tal que , en una immersió holomorfa tal que i en una funció holomorfa tal que .

Un morfisme entre dues continuacions analítiques i del mateix element és una funció holomorfa tal que .

Un tal morfisme és una funció no constant, unívocament determinada en , (i per tant en tot ) mitjançant . A més, i en i per tant en tot .

L'únic morfisme entre una continuació analítica i ella mateixa és la identitat, la composició de dos morfismes també és un morfisme; si un morfisme admet una funció holomorfa com a inversa, ella és també un morfisme: en tal cas, parlem d'un isomorfisme de continuacions analítiques.

Definició: una continuació analítica de l'element és maximal si, per a cada continuació de existeix un morfisme .

És de remarcar que dues continuacions maximals del mateix element són necessàriament isomorfes, ja que la continuació analítica maximal és única llevat d'isomorfismes.

Teorema: cada element de funció holomorfa té una continuació analítica maximal .

Demostració: siguin # el conjunt format mitjançant els elements connectables amb ; #, i ; # la immersió natural.

Introduïm una relació d'equivalència en : i es diran equivalents si i en un entorn de en .

Sigui el conjunt quocient i la projecció canònica: una base per a la topologia d' està formada pels . Definim , , mitjançant , i .

Aquestes aplicacions estan ben definides i són contínues; a més, és un homeomorfisme local.

L'espai topològic és Hausdorff: de fet, si i , considerem un entorn connex de , tal que i estiguin definits i siguin diferents en . Siguin i les còpies disjuntes de en i de en : es veu que . De fet, si hi hagués dos punts i tals que , hi hauria també en un entorn de , ja que en , això és una contradicció.

L'espai és connex, perquè per a tot parell de punts amb i , existeix una cadena de conjunts oberts connexos no buits, tals que, per a tot , , i tals que i . Per tant el conjunt obert és connex i conté i .

Puix que és un homeomorfisme local entre i , l'espai és connex; però també és un homeomorfisme local, ja que pel teorema de Poincaré-Volterra (Narasimhan pag.25), també és de base numerable.

L'atles defineix una estructura complexa en , perquè per a tot parell de mapes locals que se superposen, l'aplicació de transició és la identitat d'un conjunt obert de .

Per a aquesta estructura, les aplicacions són holomorfes per construcció, ja que és una continuació analítica de .

Es pot demostrar que aquesta continuació és maximal: sigui una continuació analítica de : podem construir un recobriment obert de mitjançant uns tals que, per a tot , és biholomorfa; llavors el parell és un element de funció holomorfa connectable amb .

Definim mitjançant : si , en , per tant les definicions locals s'enllacen per definir una aplicació holomorfa tal que .

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

Narasimhan: Raghavan Narasimhan, 'Several complex variables' The university of Chicago Press, Chigago