Contracció de Lorentz

Contracció de la longitud mesurada per un observador situat a l'exterior d'una nau que es mou al 95 % de la velocitat de la llum. Si $L_{0}$ = 10 es mesuraria $L$ = 3,12 m.

En relativitat especial la contracció de Lorentz, també anomenada contracció de Lorentz-FitzGerald o contracció relativista és un efecte d'escurçament d'un objecte al llarg de la direcció del seu moviment per a un observador extern.

Aquesta hipòtesi fou proposada inicialment pel físic irlandès George Francis FitzGerald l'any 1889 i fou desenvolupada independentment pel físic neerlandès Hendrik Lorentz com una manera d'explicar l'absència de resultats positius en l'experiment de Michelson-Morley del 1887 preservant els postulats de la física clàssica. Posteriorment, aquesta contracció fou deduïda pel físic alemany Albert Einstein en el context de la relativitat especial (1905), però, al contrari que en el cas de la física clàssica, considerant que la velocitat de la llum és constant i que l'efecte de la contracció és una conseqüència del moviment relatiu dels diferents observadors. És important insistir que això no significa que la longitud d'un objecte en moviment disminueix, un objecte que es mou no s'escurça, la teoria de la relativitat no afirma això.

Longituds $L_{0}$ i $L$.

La contracció de Lorentz ve quantificada per la següent expressió:

$$L=L_{0}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}$$

on:

• $L_{0}$ és la distància amidada per un observador estacionari,
• $L$ és la distància amidada per un observador que es desplaça,
• $v$ és velocitat de desplaçament, i
• $c$ és la velocitat de la llum en el buit, exactament 299 792 458 m/s.

Longituds mesurades per un observador d'un mòbil de $L_{0}$ = 100 cm

% de $c$	5	10	20	30	40	50	60	70	80	90	95
$v$ (km/s)	~15 000	~30 000	~60 000	~90 000	~120 000	~150 000	~180 000	~210 000	~240 000	~270 000	~285 000
$L$ (cm)	99,9	99,5	98,0	95,4	91,7	86,6	80,0	71,4	60,0	43,6	31,2

La contracció de la longitud no s'ha mesurat mai directament, que s'han d'assolir velocitats extremadament elevades per a que es noti, com s'observa a la taula anterior. Però els seus efectes es mostren en la força magnètica que actua entre cables paral·lels que transporten corrent. Curiosament, aquesta força, que és purament magnetoestàtica, apareix en un cable a causa de la contracció de la longitud que experimenten els portadors de càrrega en el marc de l'altre cable. Hi ha pocs dubtes que la contracció de Lorentz es produeix si es mesura la longitud, és a dir, quan es mesuren diferents punts d'un objecte en moviment en el mateix instant de temps en el marc de referència estacionari de l'observador.

Història

Experiment de Michelson-Morley

Article principal: Experiment de Michelson-Morley

Albert Abraham Michelson (1852-1931). Fotografia del Premi Nobel de Física de 1907.

L'experiment de Michelson-Morley fou realitzat el 1887 pels físics estatunidencs Albert Abraham Michelson (1852-1931) i Edward Williams Morley (1838-1923) amb l'objectiu de detectar el moviment relatiu de la Terra a través de l'èter lumínic que se suposava omplia tot l'univers i que era el suport per a la propagació de les ones electromagnètiques i la radiació. El mètode emprat fou la mesura de la velocitat de la llum en la direcció del moviment de translació de la Terra i, al mateix temps, en una direcció perpendicular. La mesura es va fer mitjançant l'observació d'un patró d'interferències amb un interferòmetre que s'orientà de manera que un raig seguia un camí paral·lel al del moviment de translació de la Terra i l'altre un camí perpendicular. Malgrat la precisió de l'aparell, no es detectà l'èter. Aquest resultat fou desconcertant i inquietant.

Temps en la direcció paral·lela al moviment de la Terra

Sigui $c$ la velocitat de la llum mesurada per un observador $O$ estacionari relatiu a l'èter, i sigui $v$ la velocitat de la Terra respecte de l'èter. Emprant la transformació de Galileu resulta que la velocitat de la llum quan viatja de $P$ al mirall $M_{1}$, això és, en el mateix sentit que es mou la Terra, és $c-v$. La llum viatja amb velocitat $c$, constant respecte de l'èter, i quan es dirigeix cap al mirall $M_{1}$ aquest s'allunya amb la velocitat del moviment de la Terra, $v$. Per aquesta raó la llum necessita més temps per arribar-hi segons un observador $O$ estacionari respecte de l'èter o, el que és equivalent, la llum viatja més lentament per a un observador $O'$ que es mou amb la Terra, a velocitat $c-v$.

Esquema de l'interferòmetre de Michelson-Morley.

Per contra, quan el raig viatja del mirall $M_{1}$ a $P$, de tornada i en sentit contrari al moviment de la Terra, l'observador $O$ mesura que hi arriba amb menys temps, i un observador que viatja amb la Terra, l'$O'$, com si la velocitat de la llum fos més ràpida, això és $c+v$.

D'aquesta manera el temps necessari perquè la llum viatgi en la direcció del moviment de la Terra per a un observador situat a la Terra, $O'$, considerant anada i tornada és:

$t_{\|}={\frac {L'}{c-v}}+{\frac {L'}{c+v}}={\frac {1L'c}{c^{2}-v^{2}}}={\frac {2L'/c}{1-v^{2}/c^{2}}}={\frac {2L'}{c}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}$

Si es desenvolupa en sèrie aquest binomi i s'agafen només els dos primers termes perquè $c>>v$, tenim que:

$t_{\|}\approx {\frac {2L'}{c}}\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)$

Temps en la direcció perpendicular al moviment de la Terra

El raig que viatja perpendicular segons l'observador de la Terra $O'$, no ho fa en realitat segons l'observador $O$. Per a aquest, el raig duu una certa inclinació per aconseguir reflectir-se al mirall $M_{2}$ que es desplaça de la seva posició amb el moviment de la Terra. La llum necessita més temps per arribar a $M_{2}$ perquè està un poc més allunyat. Però l'observador de la Terra el que ha d'observar és que la llum es mou un poc més lentament, a ${\sqrt {c^{2}-v^{2}}}$. Així el temps que triga la llum per a l'observador $O'$ resulta ser, fent l'aproximació en sèrie del binomi com a l'apartat anterior:

Animació de la previsió feta a l'experiment de Michelson-Morley realitzat suposant la Terra immòbil (esquerra) i en moviment (dreta)

$t_{\perp }={\frac {2L'}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {2L'/c}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\approx {\frac {2L'}{c}}\left(1+{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}\right)$

Observació

Resulta evident que ambdós temps, $t_{\|}$ i $t_{\perp }$són diferents, per la qual cosa els raigs que arriben a l'observador $O'$ estan desfasats i, d'acord amb la teoria ondulatòria, han de produir un patró d'interferències en forma d'una sèrie de ratlles clares (interferència constructiva) i fosques (interferència destructiva) alternades.

MICHELSON, A.A., MORLEY, E.W. On the Relative Motion of the Earth and the Luminiferous Ether

La diferència de temps, $\triangle t$, entre els dos raigs s'obté restant els temps que triguen ambdós raigs queda:

$\triangle t=t_{\|}-t_{\perp }={\frac {2L'}{c}}\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-{\frac {2L'}{c}}\left(1+{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}\right)$$\triangle t=t_{\|}-t_{\perp }={\frac {2L'}{c}}\left[{\left(1+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\left(1+{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}\right)}\right]={\frac {2L'}{c}}{\frac {v^{2}}{2c^{2}}}={\frac {L'v^{2}}{c^{3}}}$

La diferència de camins, $\triangle$, és:

$\triangle =c\triangle t=c{\frac {L'v^{2}}{c^{3}}}={\frac {L'v^{2}}{c^{2}}}$

Resultats

Tanmateix, Michelson i Morley no observaren el desplaçament de les franges d'interferència esperat. Les seves observacions indicaven que si hi havia desplaçament era menor que una vintena part, $n/20$, i probablement encara menor que $n/40$. Però com que el desplaçament $n$ és proporcional al quadrat de la velocitat, la velocitat relativa de la Terra i l'èter és probablement menor que una sisena part de la velocitat orbital de la Terra, això és 30/6 km/s o 5 km/s; i, en seguretat, menor que una quarta part, és a dir 30/4 km/s o 7,5 km/s. Per tant, molt probablement resulta que $t_{\|}=t_{\perp }$.

Michelson cregué inicialment que el seu experiment confirmava la teoria de Stokes, segons la qual l'èter era arrossegat totalment en la proximitat de la Terra. No obstant això, arrossegar l'èter completament entrava en contradicció amb el fenomen de l'aberració de la llum i es contradeia amb altres experiments, com Hendrik A. Lorentz demostrà en 1886.

La hipòtesi de FitzGerald i Lorentz

George Francis FitzGerald (1851–1901).

L'irlandès George Francis FitzGerald (1851–1901) proposà qualitativament el 1889 una explicació a l'experiment de Michelson-Morley que coincideix amb la proposada quantitativament de forma independent per l'holandès Hendrik A. Lorentz (1853-1928) el 1892. Aquests autors feren la hipòtesi que tots els cossos que es mouen a través de l'èter sofreixen una contracció en la direcció del moviment, i que aquesta contracció és suficient per fer que $t_{\|}=t_{\perp }$. Això significa que la longitud que apareix a $t_{\|}$ no ha de ser la mateixa longitud que apareix a $t_{\perp }$, ja que la primera és en la direcció del moviment de la Terra, mentre que la segona és perpendicular. Sigui, ara, $L$ la longitud paral·lela a la del moviment de la Terra en l'expressió de $t_{\|}$:

$t_{\|}={\frac {2L/c}{1-v^{2}/c^{2}}}$

Ara hom pot posar la condició de la igualtat dels temps obtinguda a l'experiment de Michelson-Morley $t_{\|}=t_{\perp }$:

$${\frac {2L/c}{1-v^{2}/c^{2}}}={\frac {2L'/c}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$$

Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928). Retrat de Jan Veth.

i simplificant dona:

$L={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}L'$

L'observador $O$, en repòs respecte de l'èter mesura dues longituds diferents, $L<L'$:

• La longitud $L$ en la direcció del moviment de la Terra, que és menor que $L'$, ja que ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}<1$. Per això observa una contracció de la longitud.
• La longitud $L'$ en la direcció perpendicular al moviment amb la Terra, que no experimenta cap variació.

Un altre observador, $O'$, que es mou amb la Terra no nota aquesta contracció, malgrat que sigui real segons FitzGerald i Lorentz. Quan $O'$ mesura la longitud perpendicular al moviment de la Terra amb una cinta mètrica obté $L'$; i quan mesura la longitud paral·lela al moviment de la Terra també obté $L'$, quan sembla que hauria de mesurar $L$. El motiu és que també es contreu, en la mateixa proporció, la cinta mètrica quan se situa en la direcció del moviment de la Terra, per tant, aquest observador no detecta la contracció.

La teoria de la relativitat especial

Albert Einstein (1879-1955) el 1921.

Albert Einstein (1879-1955), físic alemany, tingué notícia de l'experiment de Michelson-Morley per mitjà dels treballs de Lorentz abans del 1905 i l'acceptà com a vertader, i considerà que l'explicació de Lorentz era artificiosa. L'experiment l'influí en el desenvolupament de la teoria de la relativitat especial del 1905 malgrat que no el cità en el seu article. Tanmateix, no fou fins al 1916 que donà una explicació alternativa basant-se en la seva teoria de la relativitat especial.

Einstein suposà que la velocitat de la llum, $c$, és la mateixa en totes direccions, independentment de l'estat de moviment de l'observador. Per aquesta raó l'observador que du a terme l'experiment, $O'$, empra el valor de $c$ per ambdues trajectòries, la paral·lela al moviment de la Terra i la perpendicular. D'aquesta manera el temps necessari perquè la llum viatgi en la direcció del moviment de la Terra per a un observador situat a la Terra, $O'$, considerant anada i tornada es pot obtenir a partir de les expressions de Michelson-Morley fent la velocitat de la Terra zero:

$$t_{\|}={\frac {L'}{c-v}}+{\frac {L'}{c+v}}={\frac {L'}{c}}+{\frac {L'}{c}}={\frac {2L'}{c}}$$

I el temps perpendicular:

$$t_{\perp }={\frac {2L'}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}={\frac {2L'}{\sqrt {c^{2}}}}={\frac {2L'}{c}}$$

Així doncs, obté: $t_{\|}=t_{\perp }={2L'}/{c}$.

La diferència amb la hipòtesi de Lorentz i FitzGerald és que aquests suposen que els objectes es contreuen realment, mentre que la hipòtesi d'Einstein, malgrat dona una contracció, no és real, sinó que és la mesurada per un observador, $O$, que està en repòs respecte d'un sistema de referència inercial i veu l'interferòmetre en moviment. Per una altra banda, l'observador ${\textstyle O'}$ que està en repòs respecte de l'interferòmetre, perquè es mou amb ell respecte del sistema de referència inercial, no mesura cap contracció de la longitud.

Bibliografia

• Jefimenko, Oleg D. Electromagnetic Retardation and Theory of Relativity (en anglès). Segona edició. Electret Scientific Company Star City, 2004. ISBN 0-917406-24-9. 
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Matthew, Sands. The Feynman Lectures on Physics (en anglès). Volum I: Mainly Mechanics, Radiation, and Heat. Edició New Millennium. Basic Books, Perseus Books Group, 2010. ISBN 978-0-465-02414-8.