Convergència (sèries)

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, una sèrie és la suma dels termes d'una successió infinita de nombres.

Donada una seqüència infinita , l'enèssima suma parcial és la suma dels primers n termes de la seqüència, és a dir:

Una sèrie és convergent si la seqüència de les seves sumes parcials tendeix a un límit; és a dir que les sumes parcials s'acosten més i més a un determinat nombre quan el nombre de termes augmenta. Més precisament, una sèrie convergeix si existeix un nombre tal que per qualsevol nombre positiu petit i arbitrari , existeix un enter suficientment gran tal que per tot ,

Si la sèries és convergent, el nombre (necessàriament únic) s'anomena 'suma de la sèrie.

Qualsevol sèrie no convergent s'anomena sèrie divergent.

Exemples i contraexemples[modifica]

  • Els inversos dels nombres naturals formen una sèrie divergent (sèrie harmònica):
  • Alternant el signes dels inversos del nombres naturals es produeix, en canvi, una sèrie que convergeix al logaritme natural de 2:
  • Els inversos dels nombres primers formen una sèrie divergent:
  • Els inversos dels nombres triangulars pridueix la sèrie convergent:
  • Els inversos dels factorials produeixen una sèrie convergent (vegeu nombre e):
  • Els inversos dels quadrats perfectes produeix una sèrie convergent (vegeu Problema de Basilea):
  • Els inversos de les potències de 2 produeix una sèrie convergent:
  • Els inversos de les potències de qualsevol n són també una sèrie convergent:
  • Alternar els signes dels inversos de les potències de 2 també produeix una sèrie convergent:
  • Alternar el signes dels inversos de les potències de qualsevol n produeix una sèrie convergent:
  • Els inversos dels nombres de Fibonacci produeix una sèrie convergent (vegeu ψ):

Tests de convergència[modifica]

Si es pot demostrar que la sèrie blava convergeix, llavors la sèrie més petita ha de convergir també. En contraposició, si la sèrie vermells divergeix, llavors també ho farà
.
Article principal: Test de convergència

Existeixen diversos mètodes per determinar si una sèrie és convergent o divergent:

Test de comparació directa, Els termes d'una seqüència es comparen amb els d'una altra seqüència . Si,

per tot n, , i convergeix, llavors també convergirà

Tanmateix si:

per tot n, , i divergeix, llavors també divergirà.

Criteri de d'Alembert. S'assumeix que per tot n, . Suposi's que existeix tal que:

Si r < 1, llavors la sèrie és convergent. Si r > 1, llavors la sèrie divergeix. Si r = 1, el ratio no és concloent i per tant la sèrie pot convergir o divergir.

Criteri de l'arrel o test de l'n-èsima arrel. S'assumeix també que per tot n, . Es defineix com:

on "lim sup" denota el límit superior (possiblement ∞; si el límit existeix és el propi valor).

Si r< 1, llavors la sèrie convergeix. Si r > 1, llavors

Com abans, si r < 1, llavors la sèrie és convergent. Si r > 1, llavors la sèrie divergeix. Si r = 1, el ratio no és concloent i per tant la sèrie pot convergir o divergir.

Tant el criteri de d'Alembert com el criteri de l'arrel es basen en la comparació amb sèries geomètriques, i per tant treballen en situacions similars. De fer, si el criteri de d'Alembert funciona (en el sentit que el límit existeix i no és 1) llavors també ho fa el criteri de l'arrel; però la proposició inversa no es compleix. En general, el criteri de l'arrel es pot aplicar més, però en efectes pràctics, el límit és sovint més difícil de calcular en les sèries que es veuen normalment.

Test de l'integral. La sèrie es pot compara a una integral per establir-ne la convergència o divergència. Sigui una funció monòtona descendent. Si:

llavors la sèrie convergeix. Però si la integral divergeix, llavors la sèrie també.

Test de comparació de límits. Si , i el límit existeix i és diferent a 0, totes dues sèries convergeixen o divergeixen.

Criteri de Leibniz. Estableix que per una sèrie alternada de la forma , si és monòtonament descendent, i té el límit a 0 en infinit, llavors la sèrie convergeix.

Criteri de condensació de Cauchy. Si és una successió positiva monòtonament descendent, llavors convergeix si i només si convergeix.

Test de Dirichlet. El criteri afirma que si és una seqüència de nombres reals i és una seqüència de nombres complexos i es compleix que:

  • per tot N enter positiiu

on M és una certa constant, llavors la sèrie

convergeix.

Test d'Abel.Suposant que les següents condicions es compleixen:

  1. és una sèrie convergent,
  2. és una successió monòtona i limitada

Llavors és també convergent. Noti's que aquest criteri és especialment peritnent i útil en el cas que sigui una successió convergent no absoluta (llegeixi's condicional). Pel cas en què sigui absolutament convergent, tot i aplicar-se, és gairebé un corol·lari evident.

Criteri de Raabe. Sigui una successió tal que . Si existeix el límit

, amb

aleshores, si la sèrie és convergent i si la sèrie és divergent.

Convergència condicional i absoluta[modifica]

Il·lustració de la convergència condicional de la sèrie de potència de log(z+1) al voltant de 0 evaluades a z = exp((π−13)i). La longitud de la línia és infinita.

Per a qualsevol seqüència , per tot n. Es té que:

Això significa que si convergeix, llavors també (però no vice versa). és, a més, absolutament convergent. Una successió absolutament convergent és aquella en què la longitud de la línia que es crea per unir tots els increments en la suma parcial és finita. La sèrie de potències de la funció exponencial és absolutament convergent a tot arreu.

Si la sèrie convergeix però la sèrie divergeix, llavors la sèrie és condicionalment convergent. El camí que es forma en connectar les sumes parcials d'una sèrie condicionalment convergent és inifintament gran. La sèrie de potències del lograitme és condicionalment convergent.

El teorema de sèries de Riemann afirma que si una sèrie convergeix condicionalment, es poden reordenar els termes de la sèrie talment que la sèrie acabi convergint a qualsevol valor, o fins i tot que acabi divergint.

Convergència uniforme[modifica]

Article principal: Convergència uniforme

Sigui una successió de funcions. La sèries convergeix uniformement a si la successió de sumes parcials definida com:

convergeix uniformement a .

Existeix una analogia del test de comparació per sèries infinites en funcions anomenada prova M de Wierstrass.

Cauchy convergence criterion[modifica]

El criteri de convergència de Cauchy afirma que una sèrie

convergeix si i només si la successió de sumes parcials és una successió de Cauchy. Això vol dir que per tot existeix un enter positiu tal que per tot es té:

que és equivalent a:

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]