Convergència (successió matemàtica)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi matemàtica, el concepte de convergència es refereix a la propietat que tenen algunes successions númèriques a tendir a un límit. Aquest concepte és molt general i depenent de la naturalesa del conjunt en què es troba definida la successió, pot adoptar diferents formes.

Definició[modifica | modifica el codi]

Una successió d'elements d'un espai mètric convergeix a un element si per a qualsevol nombre real , existeix un enter positiu (que depèn de ) que

S'acostuma a escriure com

o també

o simplement

Intuïtivament, això vol dir que els elements de la successió poden ser tan propers a com vulguem si és prou gran, ja que determina la distància entre i . A partir de la definició, es pot demostrar que si una successió convergeix, ho fa cap a un únic límit.

Aquesta definició s'aplica en els casos concrets dels espais vectorials normats i dels espais amb producte intern. En el cas d'un espai normat , la norma indueix la mètrica per cada ; en el cas dels espais amb producte intern , el producte intern indueix la norma per cada .

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Successions a o

Els conjunts dels nombres reals i dels nombres complexos es construeixen en un espai mètric per mitjà del valor absolut: per a cada parella d'elements o , la funció determina una mètrica.

Per tant, una successió en convergeix a un si per qualsevol , existeix un enter tal que

Alguns exemples poden ser:

  • La successió constant definida per per a tots els valors de , on . Aquesta successió convergeix a ja que:
  • La successió . Aquesta successió convergeix a zero, ja que per la propietat arquimediana dels nombres reals, per cada , existeix un nombre natural tal que , i per tant, si i llavors:
  • La successió de l'exemple anterior és un cas particular d'un resultat més general. Si
  • Si , llavors
  • La successió . En aquest cas no convergeix, sinó que els valors oscil·len en
  • Donat que (en particular ) està dotat de l'operació suma (cosa que no passa en tots els espais mètrics), a cada successió a (en particular ) és possible associar-li la successió de sumes parcials
La successió s'expressa com
i se l'anomena sèrie infinita. En el cas que la successió de sumes parcials convergeixi, , es diu que és una sèrie convergent i s'escriu
En cas contrari, pot ser una sèrie divergent o bé una sèrie oscil·latòria. Exemples clàssics de sèries convergents, divergents i oscil·latòries són
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Convergència (successió matemàtica) Modifica l'enllaç a Wikidata