En anàlisi matemàtica, el concepte de convergència es refereix a la propietat que tenen algunes successions númèriques a tendir a un límit. Aquest concepte és molt general i depenent de la naturalesa del conjunt en què es troba definida la successió, pot adoptar diferents formes.
S'acostuma a escriure com

o també

o simplement

Intuïtivament, això vol dir que els elements
de la successió poden ser tan propers a
com vulguem si
és prou gran, ja que
determina la distància entre
i
. A partir de la definició, es pot demostrar que si una successió convergeix, ho fa cap a un únic límit.
Aquesta definició s'aplica en els casos concrets dels espais vectorials normats i dels espais amb producte intern. En el cas d'un espai normat
, la norma
indueix la mètrica
per cada
; en el cas dels espais amb producte intern
, el producte intern
indueix la norma
per cada
.
- Successions a
o 
Els conjunts dels nombres reals
i dels nombres complexos
es construeixen en un espai mètric per mitjà del valor absolut: per a cada parella d'elements
o
, la funció
determina una mètrica.
Per tant, una successió
en
convergeix a un
si per qualsevol
, existeix un enter
tal que

Alguns exemples poden ser:
- La successió constant definida per
per a tots els valors de
, on
. Aquesta successió convergeix a
ja que:

- La successió
. Aquesta successió convergeix a zero, ja que per la propietat arquimediana dels nombres reals, per cada
, existeix un nombre natural
tal que
, i per tant, si
i llavors:

- La successió de l'exemple anterior és un cas particular d'un resultat més general. Si

![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{p}}=1,\quad \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b446f12b32d5c1eb4db77dc6eac84d9356f5f371)
- Si
, llavors 
- La successió
. En aquest cas no convergeix, sinó que els valors oscil·len en 
- Donat que
(en particular
) està dotat de l'operació suma (cosa que no passa en tots els espais mètrics), a cada successió
a
(en particular
) és possible associar-li la successió de sumes parcials

- La successió
s'expressa com

- i se l'anomena sèrie infinita. En el cas que la successió de sumes parcials convergeixi,
, es diu que és una sèrie convergent i s'escriu

- En cas contrari, pot ser una sèrie divergent o bé una sèrie oscil·latòria. Exemples clàssics de sèries convergents, divergents i oscil·latòries són
