Convergència uniforme

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La convergència uniforme[1] és un concepte propi de l'anàlisi matemàtica, sobretot de l'anàlisi real, introduït per salvar les mancances de la convergència puntual en successions de funcions.

Definició[modifica | modifica el codi]

Donada una successió de funcions , amb , amb Y un espai mètric amb distància d, direm que convergeix uniformement a una funció , i ho notarem (unif.), si es compleix:

És a dir, la convergència uniforme es dóna quan a partir d'un cert terme de la successió, les funcions són tan properes com vulguem en tots els punts ( s'aproxima a per igual a tot X, uniformement); aquest detall és el que diferencia la Convergència Uniforme de Convergència Puntual.

En particular, per funcions reals de variable real, que és el cas que desenvoluparem en aquest article, tenim:

Convergència uniforme de sèries[modifica | modifica el codi]

Direm que la sèrie convergeix uniformement[1] a una funció , si ho fa la successió corresponent de sumes parcials , és a dir, si es compleix:

Criteri de Cauchy[modifica | modifica el codi]

El criteri de Cauchy per la convergència uniforme de successions de funcions,[1] nom que ve del matemàtic francès Augustin Louis Cauchy, ens diu que una successió de funcions convergeix uniformement a una funció si, i només si, a partir d'un cert terme, les imatges per dos elements de la successió qualssevol d'un punt qualsevol del domini són tan properes com vulguem; és a dir:

De nou, com en la definició de convergència uniforme, observem que aquí N només depèn de , i no pas del punt del domini escollit, així que podríem resumir el criteri dient que les funcions "s'han d'acostar a tots els punts per igual, uniformement" a partir d'un cert terme.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 1,2 Rudin, Walter.Principios de Análisis Matemático. McGraw Hill, 1980; p.157.