Coordenades ortogonals

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un sistema de coordenades ortogonals és un sistema de coordenades tal que a cada punt els vectors tangents a les corbes coordenades són ortogonal és entre si. Aquest tipus de coordenades poden definir-se sobre un espai euclidià o més generalment sobre una varietat riemanniana o pseudoriemanniana.

Definició[modifica | modifica el codi]

Donada una varietat de (pseudo) riemanniana , un conjunt obert del mateix i un punt dins d'aquest conjunt obert , una carta local o" sistema de coordenades "local pot representar per una funció:

On d és la dimensió de l'espai on es defineix el sistema de coordenades local. Les d corbes coordenades C i ( t ) i els seus vectors tangents vénen definides per les equacions:

El sistema de coordenades serà ortogonal si els vectors tangents a les corbes coordenades x i són ortogonals, és a dir, si:

On g (,) és el tensor mètric de l'espai on es defineixen les coordenades.

Propietats[modifica | modifica el codi]

L'elecció d'un o altre sistema depèn de les simetries del problema geomètric o físic plantejat. Com que tots aquests sistemes de coordenades ortogonals en ells el tensor mètric té la forma:

On les tres components no nul són els anomenats factors d'escala són funcions de les tres coordenades.

Operadors vectorials en coordenades ortogonals[modifica | modifica el codi]

Els operadors vectorials poden expressar-se fàcilment en termes d'aquestes components del tensor mètric.

  • El rotacional ve donat pel desenvolupament del següent determinant:

  • El laplacià d'una magnitud escalar ve donat per:

Exemples en l'espai euclidià[modifica | modifica el codi]

A l'espai euclidià tridimensional es fan servir diferents sistemes de coordenades, de vegades, combinant tipus de coordenades ortogonals i angulars:

Exemples en varietats diferencials[modifica | modifica el codi]

La coordenades usades en la teoria de la relativitat general són l'exemple físic més conegut de sistemes de coordenades sobre un espai globalment no-euclidià.

En un espaitemps estàtic sempre és possible escollir al voltant de qualsevol punt de l'espaitemps un sistema de coordenades ortogonal.