Corba de Peano

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Giuseppe Peano

Una corba de Peano és una corba plana parametritzada per una funció contínua de l'interval unitat [0, 1], exhaustiva cap al quadrat [0, 1] × [0, 1], és a dir que la corba passa per cada punt del pla: « omple l'espai ». Totes aquestes corbes són fractals: tot i que estan formades per una línia, la seva dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx és 2.[1]

Aquest tipus de corbes s'anomenen així en honor del matemàtic Giuseppe Peano, que va ser el primer a descriure'n una.[2] A causa d'aquest exemple, alguns autors utilitzen "corba de Peano" per referir-se més generalment a qualsevol corba d'ompliment de l'espai.[3][4]

Història[modifica]

En un article de 1890, Giuseppe Peano va descriure una corba auto-intersectant que passa per tots els punts de la superfície del quadrat unitat,[2] amb l'objectiu de construir una aplicació des de l'interval unitat definit sobre vers el quadrat unitat definit sobre . Il·lustrà així un resultat de Georg Cantor del 1877 que estableix que el conjunt dels punts de l'interval unitat i el d'una superfície bidimensional finita tenen el mateix cardinal. Així, Peano aporta la prova que una funció d'aquest tipus pot ser contínua, és a dir, que una corba pot omplir una superfície.

La clau passa per l'elaboració d'una corba que no és derivable enlloc. Totes les corbes trobades fins llavors eren derivables per intervals (tenien una derivada contínua sobre cada interval). El 1872, Karl Weierstrass havia descrit una funció que era contínua en tots els punts però no era derivable en cap punt, però cap d'aquestes corbes no podia omplir el quadrat unitat. La corba de Peano és alhora no derivable enlloc i omple el pla, sent doncs molt contra-intuïtiva.

Construcció de la primera corba[modifica]

Quatre iteracions d'una corba de Peano

Peano va utilitzar l'existència d'una notació en base 3 per a tot nombre real. En el conjunt de les successions de valors de {0,1,2}, es construeix una correspondència entre la successió: i la parella de successions de la següent manera:

  • segons si la suma dels termes de rang parell de la successió  :  : és parell o senar (per convenció, la suma buida és nul·la i per tant parella, doncs )
  • segons si la suma dels termes de rang senar de la successió  : és parell o senar.

A cada successió, se li associa el nombre real del qual la successió n'és un desenvolupament en base 3

.

i demostra que la correspondència que, al real t, li associa la parella de reals (x, y) és una aplicació exhaustiva i contínua de [0, 1] en [0, 1] × [0, 1].

L'article de Peano no contenia cap il·lustració. Una observació de les successions T, nul·les a partir del rang 3, conduiria a la construcció successiva dels punts de coordenades (0,0), (0,1/3), (0,2/3), (1/3,2/3), (1/3,1/3), (1/3,0), (2/3,0), (2/3,1/3), (2/3,2/3) que, units per segments rectes donen una corba anàloga a l'etapa 1 de la il·lustració de dalt. Per les successions nul·les a partir del rang cinc, es traça una corba anàloga a la iteració 2 de dalt, començant al punt de coordenades (0,0) i acabant al punt de coordenades (8/9,8/9).

Corbes posteriors[modifica]

Exemple de corba de Peano, es mostren els ordres 1 fins al 6. La corda va canviant de color progressivament de manera que indica l'ordre pel que passa per cada quadrant.
Si en l'algorisme s'elimina la línia del centre, en comptes d'un pla es forma una catifa de Sierpinski.

Un any més tard, David Hilbert publica una construcció nova i més simple, coneguda avui amb el nom de corba de Hilbert. El seu article de 1891 és el primer a proposar una il·lustració de la seva construcció.[5]

La majoria de les corbes de Peano es construeixen seguint un procediment iteratiu i són el límit d'una successió de corbes poligonals.

A partir dels exemples de Peano i de Hilbert, s'han dissenyat altres corbes contínues, obertes o tancades:

Més tard, Walter Wunderlich desenvolupa una família sencera de variants de la corba original de Peano.

Propietats[modifica]

  • A diferència dels seus aproximants, que en general són corbes que no se superposen, la corba de Peano és auto-intersectant i correspon a una funció no injectiva.[2][6]
  • La corba de Peano és 1/2-hölderiana. Tanmateix, aquest "1/2" és òptim, és a dir, que la constant de Hölder d'una surjecció hölderiana de [0, 1] a [0, 1]2 és sempre inferior o igual a 1/2.

Referències[modifica]

  1. A. Bogomolny, «Plane Filling Curves from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles». [Consulta: 25 març 2021]
  2. 2,0 2,1 2,2 «Sur une courbe, qui remplit une aire plane». Math. Ann., 36, pàg. 157-160.
  3. Gugenheimer, Heinrich Walter. Differential Geometry. Courier Dover Publications, 1963, p. 3. ISBN 9780486157207. 
  4. Nunes, Joan. «Corba d'ompliment». Universitat Autònoma de Barcelona: Institut Cartogràfic i Geològic de Catalunya, 2013. [Consulta: 20 desembre 2020].
  5. «Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück». Math. Ann., 38, pàg. 459-460.
  6. Selon Benoît Mandelbrot («Des monstres de Cantor et Peano à la géométrie fractale de la nature» dans Penser les mathématiques, Séminaire de Jean Dieudonné, Maurice Loi et René Thom, 1982, Lire en ligne, p. 238/4), la coutume interdit aux approximantes de Peano de s'intersecter.
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Corba de Peano