Criteri de l'arrel

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search
No s'ha de confondre amb Criteri de Cauchy ni amb Criteri de condensació de Cauchy.

El criteri de l'arrel (també conegut com a Criteri de l'arrel de Cauchy en honor a Augustin Louis Cauchy, el matemàtic que el definí) és un criteri usat per estudiar la convergència d'una sèrie infinita, on els seus termes són nombres reals o nombres complexos. Es basa en el càlcul de

on són els termes de la sèrie, i enuncia que la sèrie convergeix absolutament si aquest valor és menor que 1 i divergeix si és major que 1. És un criteri utilitzat sobretot en l'estudi de sèries de potències. Fou enunciat per primera vegada per Augustin-Louis Cauchy.

Enunciat[modifica]

Donada una sèrie

i sigui

El criteri de l'arrel enuncia que

Un exemple de sèrie convergent amb C = 1 és . Un exemple de sèrie divergent amb C = 1 és .

Aplicació a sèries de potències[modifica]

Aquest criteri se sol aplicar també en sèries de potències

on els coeficients cn, el centre p i la variable z són complexos.

Siguin an = cn(zp)n els termes de la sèrie. El criteri s'aplica sobre els termes an.

Aquestes sèries es coneixen també com a sèries de potències centrades en p pel fet que l'anomenat radi de convergència és el valor real R tal que la sèrie és convergent per tot punt z pertanyent a l'interior del disc de centre p i radi R. (La convergència per punts a la frontera no està assegurada i ha de ser comprovada independentment). Un corol·lari del criteri de l'arrel aplicat a sèries de potències diu que el radi de convergència és

sempre que el denominador no sigui 0. Si el denominador és 0, aleshores la sèrie convergeix arreu.

Demostració[modifica]

La demostració de la convergència de la sèrie Σan és un cas particular del criteri de comparació. Si per tot nN0 (on N0 és un natural fixat) es compleix , aleshores . Com que la sèrie geomètrica convergeix, també ho fa (com a resultat del criteri de comparació). La convergència absoluta es demostra de forma anàloga prenent .

Si per més grans que s'agafin els n, aleshores an no convergeix a 0 i per tant la sèrie divergeix.

Demostració del corol·lari[modifica]

For a power series Σan = Σcn(z − p)n, we see by the above that the series converges if there exists an N such that for all nN we have

,

equivalent to

for all nN, which implies that in order for the series to converge we must have for all sufficiently large n. This is equivalent to saying

,

so . Now the only other place where convergence is possible is when

,

(since points > 1 will diverge) and this will not change the radius of convergence since these are just the points lying on the boundary of the interval or disc, so

.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  • Knopp, Konrad. «§ 3.2». A: Infinite Sequences and Series (en anglès). Nova York: Dover publications, Inc., 1956. ISBN 0-486-60153-6. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N.. «§ 2.35». A: A Course in Modern Analysis (en anglès). 4a ed.. Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3.