Criteri de l'arrel

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

El criteri de l'arrel (també conegut com a Criteri de l'arrel de Cauchy en honor a Augustin Louis Cauchy, el matemàtic que el definí) és un criteri usat per estudiar la convergència d'una sèrie infinita, on els seus termes són nombres reals o nombres complexos. Es basa en el càlcul de

on són els termes de la sèrie, i enuncia que la sèrie convergeix absolutament si aquest valor és menor que 1 i divergeix si és major que 1. És un criteri utilitzat sobretot en l'estudi de sèries de potències. Fou enunciat per primera vegada per Augustin-Louis Cauchy.

Enunciat[modifica]

Donada una sèrie

i sigui

El criteri de l'arrel enuncia que

Un exemple de sèrie convergent amb C = 1 és . Un exemple de sèrie divergent amb C = 1 és .

Aplicació a sèries de potències[modifica]

Aquest criteri se sol aplicar també en sèries de potències

on els coeficients cn, el centre p i la variable z són complexos.

Siguin an = cn(zp)n els termes de la sèrie. El criteri s'aplica sobre els termes an.

Aquestes sèries es coneixen també com a sèries de potències centrades en p pel fet que l'anomenat radi de convergència és el valor real R tal que la sèrie és convergent per tot punt z pertanyent a l'interior del disc de centre p i radi R. (La convergència per punts a la frontera no està assegurada i ha de ser comprovada independentment). Un corol·lari del criteri de l'arrel aplicat a sèries de potències diu que el radi de convergència és

sempre que el denominador no sigui 0. Si el denominador és 0, aleshores la sèrie convergeix arreu.

Demostració[modifica]

La demostració de la convergència de la sèrie Σan és un cas particular del criteri de comparació. Si per tot nN0 (on N0 és un natural fixat) es compleix , aleshores . Com que la sèrie geomètrica convergeix, també ho fa (com a resultat del criteri de comparació). La convergència absoluta es demostra de forma anàloga prenent .

Si per més grans que s'agafin els n, aleshores an no convergeix a 0 i per tant la sèrie divergeix.

Demostració del corol·lari[modifica]

Per a una sèrie de potències Σan = Σcn(z − p)n, hom pot veure pel resultat anterior que la sèrie convergeix si existeix un N tal que per a tot nN es té

,

equivalent a

per a tot nN, la qual cosa implica que, per tal que la sèrie convergeixi, s'ha de donar que per a tot n suficientment gran. Això és equivalent a dir que

,

i així . Ara bé, l'altre lloc on és possible que la sèrie sigui convergent només pot ser quan

,

(ja que els punts > 1 faran divergir la sèrie) i això no fa canviar el radi de convergència, ja que aquests són només els punts que cauen a la frontera de l'interval o el disc; per tant,

.

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  • Knopp, Konrad. «§ 3.2». A: Infinite Sequences and Series (en anglès). Nova York: Dover publications, Inc., 1956. ISBN 0-486-60153-6. 
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N.. «§ 2.35». A: A Course in Modern Analysis (en anglès). 4a ed.. Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3.