Curvatura gaussiana

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
D'esquerra a dreta: una superfície de curvatura gaussiana negativa (hiperboloide), una superfície de curvatura gaussiana zero (cilindre), i una superfície de curvatura gaussiana positiva (esfera).
El tor té punts on la curvatura gaussiana és positiva, punts on és negativa, i punts on s'anul·la.

En geometria diferencial clàssica, la curvatura gaussiana o curvatura de Gauss Κ d'una superfície en un punt és el producte de les curvatures principalsκ1 i κ2, en el punt donat:

Per exemple, una esfera de radi r té curvatura gaussiana 1/r2 a tot arreu, i un pla i un cilindre tenen curvatura gaussiana 0 a tot arreu. La curvatura gaussiana també pot ser negativa, com en el cas d'un hiperboloide o l'interior d'un tor.

La curvatura gaussiana és una mesura intrínseca de curvatura, depenent només de distàncies que mesurades a la superfície, i no de com està immergida a l'espai. Aquest és el contingut del theorema egregium de Gauss, qui el va publicar l'any 1827, i del qual la curvatura gaussiana porta el nom.

Definició informal[modifica]

Superfície en forma de sella amb plans normals a les direccions de curvatura principals.

A qualsevol punt en una superfície podem trobar un vector normal que és en angle recte a la superfície; els avions que contenen el vector normal és anomenat plana normal s. La intersecció d'una plana normal i la superfície formaran una corba anomenada una secció normal i la curvatura d'aquesta corba és la curvatura normal. Per la majoria de punts en més superfícies, les seccions normals diferents tindran curvatures diferents; els valors màxims i mínims d'aquests són cridats les curvatures principals, anomenats aquests κ1, κ2. La curvatura gaussiana és el producte de les dues curvatures principals  Κ = κ1 κ2.

El signe de la curvatura gaussiana pot ser utilitzada per caracteritzar la superfície.

  • Si ambdues curvatures principals són el mateix signe: κ1κ2 > 0, llavors la curvatura gaussiana és positiva i la superfície és dita per tenir un eliptic punt. A tals punts la superfície es farà com, localment estirant damunt un costat del seu avió de tangent. Totes les curvatures seccionades tindran el mateix signe.
  • Si les curvatures principals tenen signes diferents: κ1κ2 < 0, llavors la curvatura gaussiana és negativa i la superfície és dita per tenir un hiperbòlic o punt de sella. A tals punts la superfície serà conformat sella. Perquè una curvatura principal és negativa, una és positiva, i la curvatura normal varia contínuament si tu gires un avió ortogonal a la superfície al voltant del normal a la superfície en dues direccions les curvatures normals seran zero donant les corbes Asimptòtiques per aquell punt.
  • Si una de les curvatures principals és zero: κ1κ2 = 0, la curvatura gaussiana és zero i la superfície és dita per tenir un punt parabòlic.

La majoria de superfícies contindran regions de curvatura gaussiana positiva (punts el·líptics) i regions de la curvatura gaussiana negativa separada per una corba dels punts amb curvatura gaussiana zero anomenada una línia parabòlica.

Relació amb geometries[modifica]

Quan una superfície té una curvatura gaussiana zero constant llavors és un superfície desnvolupable i la geometria de la superfície és geometria Euclidiana.

Quan una superfície té una curvatura gaussiana positiva constant llavors és una esfera i la geometria de la superfície és geometria esfèrica.

Quan una superfície té una curvatura gaussiana negativa constant llavors és un pseudospherical superfície i la geometria de la superfície és geometria hiperbòlica.

Discussió informal més llunyana[modifica]

En geometria diferencial, les dues curvatures principals a un punt donat d'una superfície és el valor propi de l'operador de forma al punt. Mesuren com les corbes de superfície per quantitats diferents en direccions diferents en aquest punt. Representem la superfície pel teorema de funció implícit com el graf d'una funció, f, de dues variables, de tal manera que el punt p és un punt crític, i.e., el gradient de f desapareix (això sempre pot ser assolit per un moviment rígid adequat). Llavors la curvatura gaussiana de la superfície a p és el determinant del matriu hessiana de f (sent el producte del valor propi del Hessian). (Recorda que el Hessian és la matriu 2-per-2 de segons derivats.) Aquesta definició permet una immediatament per agafar la distinció entre gorra/tassa versus punt de sella.

Definicions alternatives[modifica]

És també donat per

On  és el derivat covariant i g és el tensor mètric.

En un punt p sobre una superfície regular en R3, la curvatura gaussiana també és donada per

on S és l'operador de forma.

Una fórmula útil per la curvatura gaussiana és l'equació de Liouville en termes del Laplacià en coordenades isotermes.

Curvatura total[modifica]

La suma dels angles d'un triangle en una superfície de curvatura negativa és menys que aquell d'un triangle pla.

La integral de superfície de la curvatura gaussiana per damunt alguna regió d'una superfície és anomenada la curvatura total. La curvatura total d'un triangle geodèsics equival a la desviació de la suma dels seus angles de π. La suma dels angles d'un triangle en una superfície de curvatura positiva superarà π, mentre la suma dels angles d'un triangle en una superfície de curvatura negativa serà menys de π. En una superfície de curvatura zero, com la plana d'Euclidià, els angles sumaran precisament π radiants.

Un resultat més general és el teorema de Barret-Gauss.

Teoremes importants[modifica]

Theorema egregium[modifica]

El Theorema Egregium de Gauss (llatí: "teorema notable") declara que la curvatura gaussiana d'una superfície pot ser determinada de les mides de longitud en la superfície mateixa. De fet, es pot trobar donat el coneixement ple de la primera forma fonamental i expressat via la primera forma fonamental i els seus derivats parcials de primer i segon ordre. De manera equivalent, el determinant de la segona forma fonamental d'una superfície en R3 pot ser tan bé expressat. El "notable", i sorprenent, característica d'aquest teorema és que tot i que la definició de la curvatura gaussiana d'una superfície S en R3 certament depén en el camí en quina superfície és localitzada en espacial, el resultat de final, la curvatura gaussiana mateixa, és determinada per l'intrínsec mètric de la superfície sense qualsevol referència més llunyana a l'espai ambiental: és una intrínseca invariant. En particular, la curvatura gaussiana és invariable sota deformacions isomètriques de la superfície

En geometria diferencial contemporània, una "superfície", vista abstractament, és un col·lector diferenciable bidimensional. Per connectar aquest punt de vista amb la teoria clàssica de superfícies, tal una superfície abstracta és incrustatR3 i dotat amb el métric Riemannian donat per la primera forma fonamental. Suposar que la imatge de la incrustació és una superfície S en  R3. Una isometria local és un difeomorfisme f: UV entre regions obertes de  R3 la qual restricció a SU és una isometria a la seva imatge. Theorema Egregium es llavors declarat de la manera següent:

La curvatura gaussiana d'una superfície llisa incrustada en R3 és invariable sota les isometries locals.

Per exemple, la curvatura gaussiana d'un tub cilíndric és zero, el mateix que pel "tub" desenrotllat (quin és pla). D'altra banda, des d'una esfera de radis R té curvatura positiva constant R−2 i un pla gras té curvatura constant 0, aquestes dues superfícies no són isomètriques, fins i tot localment. Per això qualsevol representació planar de fins i tot una part d'una esfera ha de distorsionar les distàncies. Per tant, cap projecció cartogràfica és perfecta.

Teorema de Barret-Gauss[modifica]

El teorema de Barret-Gauss enllaça la curvatura total d'una superfície a la seva característica d'Euler i proporciona un enllaç important entre propietats geomètriques locals i propietats topològiques globals.

Superfícies de curvatura constant[modifica]

  • Teorema de Minding (1839) declara que totes les superfícies amb la mateixa curvatura constant K són localment isomètriques. Una conseqüència d'el teorema de Minding és que qualsevol superfície de la qual curvatura és idènticament zero pot ser construïda per doblegar alguna regió plana. Tals superfícies són anomenades superfícies desenvolupades. Minding també va aixecar la qüestió si una superfície tancada amb curvatura positiva constant és necessàriament rígida.
  • Teorema de Liebmann (1900) va contestar la pregunta de Minding. L'únic regular (de classe C2) superfícies properes en R3 amb curvatura gaussiana positiva constant són les esferes.[1] Si una esfera és deformada no es queda una esfera, provant que una esfera és rígida. Uns prova estàndard utilitza el lema de Hilbert que els punts de curvatura principal extrema tenen curvatura gaussiana no positiva.[2]
  • El teorema d'Hilbert (1901) declara que existeix cap analític complete (classe Cω) superfície regular en R3 de curvatura gaussiana negativa constant. De fet, la conclusió també sosté per superfícies de classe C2 immerses en R3, però és trenca per C1-superfícies. La pseudoesfera té curvatura gaussiana negativa constant excepte a la seva cúspide singular.[3]

Fórmules alternatives[modifica]

  • Curvatura Guassiana d'una superfície en R3 pot ser expressada com la proporció dels determinants de la segon i primer forma fundamental:
  • La fórmula Brioschi dona curvatura gaussiana només en termes de la primera forma fonamental:
  • Per una parametrització ortogonal (i.e., F = 0), la curvatura gaussiana és:
  • Per una superfície descrita com gràfic d'una funció z = F(x, y), la curvatura gaussiana és:
  • Per una superfície F(x,y,z) = 0, la curvatura gaussiana pot ser expressada en termes del gradient  i matriu Hessian :[4][5]
  • Per una superfície amb mètric conforme a l'Euclidià un, tan F = 0 i E = G = eσ, la vurvatura Gauss és dónada per (Δ sent l'habitual operador lapacià):
  • La curvatura gaussiana és la diferència de limitar entre la circumferència d'un cercle geodèsic i un cercle en la plana:[6]
  • La curvatura gaussiana és la diferència de limitar entre l'àrea d'un disc geodèsic i un disc en la plana:[6]

Vegeu també[modifica]

References[modifica]

  1. Kühnel, Wolfgang. Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds. American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3988-8. 
  2. Gray, Mary. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. 2nd. CRC Press, 1997, p. 652–654. ISBN 9780849371646. «28.4 Hilbert's Lemma and Liebmann's Theorem» 
  3. Hilbert theorem.
  4. Goldman, R. «Curvature formulas for implicit curves and surfaces». Computer Aided Geometric Design, 22, 7, 2005, pàg. 632. DOI: 10.1016/j.cagd.2005.06.005. Plantilla:Citeseerx.
  5. Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. 3. Publish or Perish, Boston, 1975. 
  6. 6,0 6,1 Bertrand–Diquet–Puiseux theorem
  7. Struik, Dirk. Lectures on Classical Differential Geometry. Courier Dover Publications, 1988. ISBN 0-486-65609-8. 

Llibres[modifica]

  • P.Grinfeld. Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces.. Springer, 2014. ISBN 1-4614-7866-9. 

Enllaços externs[modifica]