Deformació (mecànica)

Mecànica dels medis continus
Lleis Conservació de la massa Conservació de la quantitat de moviment Conservació de l'energia Desigualtat de l'entropia
Mecànica dels sòlids Sòlids Tensió Deformació Compatibilitat Elasticitat lineal Plasticitat Flexió Llei de Hooke Teories de falla Mecànica de la fractura Mecànica de contacte sense fricció amb fricció
Mecànica dels fluids Fluids Hidroestàtica Dinàmica de fluids Equacions de Navier-Stokes Principi de Bernoulli Flotabilitat Viscositat newtonians no newtonians Principi d'Arquimedes Principi de Pascal Pressió Líquids Tensió superficial Capil·laritat Gasos Atmosfera Llei de Boyle Llei de Charles Llei de Gay-Lussac Plasma
Reologia Viscoelasticitat Fluid intel·ligent magnetoreològic electroreològic ferrofluid Reometria Reòmetre
Científics Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Pascal Newton Navier Stokes

En mecànica, la deformació es defineix com la deformació relativa, en comparació amb una configuració de posició referència. Es poden fer diferents opcions equivalents per a l'expressió d'un camp de deformació depenent de si es defineix respecte a la configuració inicial o final del cos i de si es considera el tensor mètric o el seu dual.

La deformació té una dimensió d'una relació de longituds, amb unitats bàsiques del SI de metre per metre (m/m). Per tant, les deformacions són adimensionals i normalment s'expressen com una fracció decimal o un percentatge. També s'utilitza la notació parts per, per exemple, parts per milió o parts per mil milions (de vegades anomenades "microdeformacions" i "nanodeformacions", respectivament), corresponents a μm/m i nm/m.

La deformació es pot formular com la derivada espacial del desplaçament: $${\boldsymbol {\varepsilon }}\doteq {\cfrac {\partial }{\partial \mathbf {X} }}\left(\mathbf {x} -\mathbf {X} \right)={\boldsymbol {F}}'-{\boldsymbol {I}},$$ on I és el tensor d'identitat. El desplaçament d'un cos es pot expressar en la forma x = F(X), on X és la posició de referència dels punts materials del cos; el desplaçament té unitats de longitud i no distingeix entre els moviments del cos rígid (translacions i rotacions) i les deformacions (canvis de forma i mida) del cos. La derivada espacial d'una translació uniforme és zero, per tant, les deformacions mesuren quant difereix localment un desplaçament determinat d'un moviment d'un cos rígid.

Una deformació és en general una quantitat tensorial. Es pot obtenir una comprensió física de les deformacions observant que una deformació determinada es pot descompondre en components normals i de cisallament. La quantitat d'estirament o compressió al llarg dels elements lineals o fibres del material és la deformació normal, i la quantitat de distorsió associada amb el lliscament de capes planes les unes sobre les altres és la deformació de cisallament, dins d'un cos en deformació. Això es podria aplicar mitjançant elongació, escurçament o canvis de volum, o distorsió angular.

L'estat de deformació en un punt material d'un cos continu es defineix com la totalitat de tots els canvis de longitud de les línies o fibres materials, la deformació normal, que passen per aquest punt i també la totalitat de tots els canvis en l'angle entre parells de línies inicialment perpendiculars entre si, la deformació de cisallament, que irradien des d'aquest punt. Tanmateix, n'hi ha prou amb conèixer les components normal i de cisallament de la deformació en un conjunt de tres direccions mútuament perpendiculars.

Si hi ha un augment de la longitud de la línia de material, la deformació normal s'anomena deformació de tracció ; en cas contrari, si hi ha una reducció o compressió en la longitud de la línia de material, s'anomena deformació de compressió.

Règims de deformació

Segons la quantitat de deformació, o deformació local, l'anàlisi de la deformació es subdivideix en tres teories de deformació:

• La teoria de deformacions finites, també anomenada teoria de grans deformacions, teoria de grans deformacions, tracta les deformacions en què tant les rotacions com les deformacions són arbitràriament grans. En aquest cas, les configuracions no deformades i deformades del continu són significativament diferents i cal fer una distinció clara entre elles. Aquest és el cas habitual dels elastòmers, els materials que es deformen plàsticament i altres fluids i teixits tous biològics.
• Teoria de deformació infinitesimal, també anomenada teoria de petites deformacions, teoria de petites deformacions, teoria de petits desplaçaments o teoria de petits gradients de desplaçament, on tant les deformacions com les rotacions són petites. En aquest cas, es pot assumir idèntica la configuració no deformada i deformada del cos. La teoria de deformació infinitesimal s'utilitza en l'anàlisi de deformacions de materials que presenten un comportament elàstic, com ara materials que es troben en aplicacions d'enginyeria mecànica i civil, com ara el formigó i l'acer.
• Teoria de grans desplaçaments o grans rotacions, que assumeix petites deformacions però grans rotacions i desplaçaments.

Mesures de deformació

En cadascuna d'aquestes teories, la deformació es defineix de manera diferent. La deformació d'enginyeria és la definició més comuna que s'aplica als materials utilitzats en enginyeria mecànica i estructural, que estan sotmesos a deformacions molt petites. D'altra banda, per a alguns materials, per exemple, elastòmers i polímers, sotmesos a grans deformacions, la definició d'enginyeria de deformació no és aplicable, per exemple, deformacions d'enginyeria típiques superiors a l'1%; per tant, es requereixen altres definicions més complexes de deformació, com ara estirament, deformació logarítmica, deformació de Green i deformació d'Almansi.

Tensió d'enginyeria

La deformació d'enginyeria, també coneguda com a deformació de Cauchy, s'expressa com la relació entre la deformació total i la dimensió inicial del cos material sobre el qual s'apliquen les forces. En el cas d'un element lineal de material o fibra carregat axialment, el seu allargament dóna lloc a una deformació normal d'enginyeria o deformació extensional d'enginyeria e, que és igual a l' allargament relatiu o al canvi de longitud ΔL per unitat de la longitud original L de l'element lineal o fibres (en metres per metre). La deformació normal és positiva si les fibres del material s'estiren i negativa si es comprimeixen. Per tant, tenim $$e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {l-L}{L}}$$, on e és la deformació normal d'enginyeria, L és la longitud original de la fibra i l és la longitud final de la fibra.

La veritable deformació de cisallament es defineix com el canvi d'angle (en radians) entre dos elements de línia de material inicialment perpendiculars entre si en la configuració inicial o no deformada. La deformació de cisallament d'enginyeria es defineix com la tangent d'aquest angle i és igual a la longitud de la deformació al seu màxim dividida per la longitud perpendicular al pla d'aplicació de la força, cosa que de vegades facilita el seu càlcul.

Relació d'estirament

La relació d'estirament o relació d'extensió (símbol λ) és una mesura alternativa relacionada amb la deformació extensional o normal d'un element lineal diferencial carregat axialment. Es defineix com la relació entre la longitud final l i la longitud inicial L de la línia de material.

$$\lambda ={\frac {l}{L}}$$La relació d'extensió λ està relacionada amb la deformació d'enginyeria e per

$$e=\lambda -1$$ Aquesta equació implica que quan la deformació normal és zero, de manera que no hi ha deformació, la relació d'estirament és igual a la unitat.

La relació d'estirament s'utilitza en l'anàlisi de materials que presenten grans deformacions, com ara els elastòmers, que poden mantenir relacions d'estirament de 3 o 4 abans de fallar. D'altra banda, els materials d'enginyeria tradicionals, com el formigó o l'acer, fallen a relacions d'estirament molt més baixes.

Deformació logarítmica

La deformació logarítmica ε, també anomenada deformació veritable o deformació de Hencky. Considerant una deformació incremental (Ludwik) $$\delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}$$ La deformació logarítmica s'obté integrant aquesta deformació incremental:

$${\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{aligned}}$$on e és la deformació d'enginyeria. La deformació logarítmica proporciona la mesura correcta de la deformació final quan la deformació té lloc en una sèrie d'increments, tenint en compte la influència de la trajectòria de deformació.

Deformació Green

La soca Green es defineix com: $$\varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)$$

Deformació Almansi

La soca d'Euler-Almansi es defineix com $$\varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$$

Tensor de deformació

El tensor de deformació (infinitesimal) (símbol ${\boldsymbol {\varepsilon }}$) es defineix en el Sistema Internacional de Magnituds (ISQ), més concretament a la norma ISO 80000-4 (Mecànica), com una "magnitud tensorial que representa la deformació de la matèria causada per la tensió. El tensor de deformació és simètric i té tres components de deformació lineal i tres components de deformació de cisallament (cartesians)". La norma ISO 80000-4 defineix a més la deformació lineal com el "quocient del canvi de longitud d'un objecte i la seva longitud" i la deformació de cisallament com el "quocient del desplaçament paral·lel de dues superfícies d'una capa i el gruix de la capa". Per tant, les deformacions es classifiquen com a normals o de cisallament. Una deformació normal és perpendicular a la cara d'un element i una deformació de cisallament és paral·lela a ella. Aquestes definicions són coherents amb les de la tensió normal i la tensió de cisallament.

El tensor de deformació es pot expressar en termes de components normals i de cisallament com:

$${\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\tfrac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{bmatrix}}$$

Entorn geomètric

Deformació geomètrica bidimensional d'un element material infinitesimal

Considerem un element material rectangular bidimensional, infinitesimal, amb dimensions dx × dy, que, després de la deformació, pren la forma d'un rombe. La deformació es descriu pel camp de desplaçament u. A partir de la geometria de la figura adjacent tenim $$\mathrm {length} (AB)=dx$$ i

$${\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}$$Per a gradients de desplaçament molt petits, els quadrats de la derivada de

$u_{y}$ i $u_{x}$ són insignificants i tenim $$\mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx$$

Deformació normal

Per a un material isotròpic que obeeix la llei de Hooke, una tensió normal causarà una deformació normal. Les deformacions normals produeixen dilatacions.

La deformació normal en la direcció x de l'element rectangular es defineix per $$\varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}$$ De la mateixa manera, la deformació normal en les direccions y i z esdevé $$\varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}$$

Deformació de cisallament (shear)

Deformació de cisallament

Símbol	γ or ε
Unitats	1, or radian
Derivacions a partir d'altres quantitats	γ = τ/G
Fórmula	$\varepsilon =\Delta l/l$

La deformació de cisallament d'enginyeria ( γ_xy ) es defineix com el canvi d'angle entre les línies AC i AB. Per tant,

$$\gamma _{xy}=\alpha +\beta$$

A partir de la geometria de la figura, tenim

$${\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}$$Per a petits gradients de desplaçament tenim

$${\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1$$ Per a rotacions petites, és a dir, α i β són ≪ 1 tenim tan α ≈ α, tan β ≈ β. Per tant, $$\alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$$ així $$\gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}$$ Intercanviant x i y i u_x i u_y, es pot demostrar que γ_xy = γ_yx.

De la mateixa manera, per als plans yz i xz, tenim $$\gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}$$

Tensor mètric

Un camp de deformació associat amb un desplaçament es defineix, en qualsevol punt, pel canvi de longitud dels vectors tangents que representen les velocitats de les corbes arbitràriament parametritzades que passen per aquest punt. Un resultat geomètric bàsic, degut a Fréchet, von Neumann i Jordan, estableix que, si les longituds dels vectors tangents compleixen els axiomes d'una norma i la llei del paral·lelogram, aleshores la longitud d'un vector és l'arrel quadrada del valor de la forma quadràtica associada, per la fórmula de polarització, amb una aplicació bilineal definida positiva anomenada tensor mètric.