Vés al contingut

Deltaedre

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Infotaula de polítopDeltaedre
Tipuspolíedre Modifica el valor a Wikidata
Forma de les carestriangle equilàter () Modifica el valor a Wikidata
Més informació
MathWorldDeltahedron Modifica el valor a Wikidata
El deltaedre convex més gran és l'icosaedre

Un deltaedre és un políedre on totes les seves cares són triangles equilàters iguals.[1] S'anomenen així per la lletra grega delta que en majúscules s'escriu com un triangle (Δ). Hi ha infinits deltaedres, però sols vuit són convexos, d'aquests, sols 3 són regulars.

Cares, vèrtexs i arestes als deltaedres

[modifica]

Del fet que les cares siguin sempre triangles, es dedueix que el nombre d'arestes és , on és el nombre de cares. Això implica que no hi ha deltaedres amb un nombre senar de cares.[2] La fórmula d'Euler també dona el nombre de vèrtexs en funció de les cares

Analitzant els deltaedres succeeix que apareixen cares contigües coplanars, per exemple si a un vèrtex coincideixen 6 cares. Aquests poliedres amb cares no triangulars o desiguals que es poden subdividir en triangles no es consideren deltaedres en sentit estricte.

Els deltaedres mantenen sempre la seva forma, són rígids. Construïts com a esquelets és a dir sols amb les arestes, no es poden deformar. Aquesta propietat no sempre es compleix als políedres, l'esquelet d'un cub, per exemple, es pot deformar com a prisma de base ròmbica o fins i tot quedar aplanat.

Els vuit deltaedres convexos

[modifica]

Sols hi ha vuit deltaedres convexos:[3][4] tres són poliedres regulars i cinc sòlids de Johnson.

Deltaedres regulars
Imatge Nom Cares Arestes Vèrtexs Configuració dels vèrtexs Grup de simetria
tetraedre 4 6 4 4 vèrtexs d'ordre 3 (on coincideixen 3 cares) Td, [3,3]
octaedre 8 12 6 6 vèrtexs d'ordre 4 (on coincideixen 4 cares) Oh, [4,3]
icosaedre 20 30 12 12 vèrtexs d'ordre 5 (on coincideixen 5 cares) Ih, [5,3]
Deltaedres de Johnson
Imatge Nom Número de Johnson Cares Arestes Vèrtexs Configuració dels vèrtexs Grup de simetria
bipiràmide triangular J12 6 9 5 2 vèrtexs d'ordre 3

3 vèrtexs d'ordre 4

D3h, [3,2]
bipiràmide pentagonal J13 10 15 7 5 vèrtexs d'ordre 4

2 vèrtexs d'ordre 5

D5h, [5,2]
bisfenoide xato

(dodecàedre siamès)

J84 12 18 8 4 vèrtexs d'ordre 4

4 vèrtexs d'ordre 5

D2d, [2,2]
prisma triangular triaugmentat J51 14 21 9 3 vèrtexs d'ordre 4

6 vèrtexs d'ordre 5

D3h, [3,2]
bipiàmide quadrada giroallargada J17 16 24 10 2 vèrtexs d'ordre 4

8 vèrtexs d'ordre 5

D4d, [4,2]

Aquests cinc darrers deltaedres no són regulars, ja que tot i tenir totes les cares com a triangles equilàters iguals tenen vèrtexs de diferents tipus. Per exemple la bipiràmide triangular té dos vèrtexs d'ordre 3 on coincideixen tres cares i tres vèrtexs d'ordre 4 on coincideixen 4 cares. Es classifiquen per això dins el grup dels sòlids de Johnson.

Els deltaedres no convexos o còncaus

[modifica]

Hi ha infinits deltaedres no convexos, per veure això sols cal imaginar els poliedres que es poden aconseguir enganxant tetraedres iguals.

Alguns dels més simples són els que es mostren a continuació, les possibles cadenes i ramificacions de deltaedres simples enganxats són infinites

Unió de 3 tetraedres,

8 cares

Unió de 4 tetraedres,

10 cares

Unió de 5 tetraedres,

12 cares

Unió de 8 octaedres,

48 cares

Són coneguts els deltaedres generats a partir dels poliedres regulars construint piràmides fetes amb triangles equilàters, enganxades sobre les seves cares

Poliedre construït amb un tetraedre com a nucli, enganxant 4 tetraedres a les seves cares Poliedre construït amb un cub de nucli, enganxant 6 piràmides quadrades a les cares Estel octangle construït amb un octaedre de nucli, enganxant 8 tretraedres a les cares Poliedre construït amb un dodecaedre regular de nucli, enganxant 12 piràmides pentagonals a les cares Poliedre construït amb un icosaedre regular de nucli, enganxant 20 tetraedres a les cares
12 triangles 24 triangles 60 triangles

En lloc d'enganxar piràmides a les cares podem extreure-les com el següent exemple

Poliedre format a partir d'un dodecaedre del qual s'han extret de cada cara les piràmides
60 triangles

Referències

[modifica]
  1. «Deltaedre IEC».
  2. «The Convex Deltahedra». [Consulta: 22 maig 2021].
  3. O. Rausenberger, Konvexe pseudoreguläre Polyeder. Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 46(1915), 135 – 142. Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 45, page 735.
  4. Hans Freudenthal i Bartel van der Waerden, On an assertion of Euclid. (Dutch) Simon Stevin 25(1947), 115 – 121. Math Review 9, page 99c