Demostració que e és irracional

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtica, el desenvolupament en sèrie del nombre e

pot ser utilitzat per a provar que e és un nombre irracional.


Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b. Considerem el nombre



Mostrem que la suposició per a l'absurd implica simultàniament que i que és un nombre enter. Això és impossible, i aquesta contradicció estableix la irracionalitat de "e".

  • Per a veure que x és un nombre enter, notem que
Ara, per a tot n tal que , hom veu que és divisible per a , ja que

és un nombre enter positiu. Com a conseqüència, puix que també, , és a dir, x és un nombre enter.

  • Per a veure que x és un nombre positiu inferior a 1, notem que car

Aquí, la darrera suma és una sèrie geomètrica. Puix que no existeixen nombres enters positius més petits que 1, hem obtingut una contradicció. Això acaba la demostració.

Quod erat demonstrandum


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Demostració que e és irracional Modifica l'enllaç a Wikidata