En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de diverses variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quan es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels eixos de coordenades.
De vegades alguns autors escriuen Dv en comptes de . Si la funció és derivable a , llavors la derivada direccional existeix al llarg de qualsevol vector i es té
On la de la dreta denota el gradient i és el Producte escalar. A qualsevol punt , la derivada direccional de , intuïtivament, representa la raó de canvi de al llarg de al punt . Normalment les direccions es prenen normalitzades, és a dir és un vector unitari, tot i que la definició de més amunt funciona per a vectors qualssevol.[1]
Demostració
Per claredat es farà la demostració pel cas d'una funció de dues variables, el cas general s'obté de la mateixa manera. Sia una funció derivable. La derivada direccional en la direcció d'un vector és:
El primer d'aquests límits es pot calcular amb el canvi això, pel fet de ser derivable la funció, condueix a:
Fent el mateix amb l'altre límit i sumant s'obté:
Aquest resultat coincideix amb el producte escalar del gradient pel vector :
Moltes de les propietats de la derivadaordinària, també les té la derivada direccional. Entre elles hi ha, per a qualssevol parell de funcions f i g definides en un entorn de p i derivables a p:
Sia M una varietat diferenciable i p un punt de M. Suposant que f sigui una funció definida en un entorn de p, i que sigui derivable a p. Si v és un vector tangent a M en p, llavors la derivada direccional de f al llarg de v, escrita indiferentment com a (vegeu derivada covariant), (vegeu derivada de Lie), o (vegeu espai tangent), es pot definir tal com segueix. Sia γ : [-1,1] → M una corba derivable amb γ(0) = p i γ′(0) = v. Llavors la derivada direccional es defineix per
Es pot demostrar que aquesta definició és independent de la tria de γ, suposant que γ se selecciona de la forma prescrita, és a dir γ'(0) = v.
Una derivada normal és una derivada direccional presa en la direcció normal (és a dir ortogonal) a alguna superfície en l'espai, o de forma més general, al llarg d'un camp vectorial ortogonal a alguna hipersuperfície. Vegeu per exemple la condició de frontera de Neumann. Si la direcció normal s'escriu , llavors la derivada direccional d'una funció ƒ s'escriu de vegades .