Derivada direccional

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de diverses variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quan es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels eixos de coordenades.

La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux.

Definició[modifica | modifica el codi]

La derivada direccional d'una funció escalar al llarg d'un vector és la funció definida pel límit

De vegades alguns autors escriuen Dv en comptes de . Si la funció és derivable a , llavors la derivada direccional existeix al llarg de qualsevol vector i es té

On la de la dreta denota el gradient i és el Producte escalar. A qualsevol punt , la derivada direccional de , intuïtivament, representa la raó de canvi de al llarg de al punt . Normalment les direccions es prenen normalitzades, és a dir és un vector unitari, tot i que la definició de més amunt funciona per a vectors qualssevol.[1]



Propietats[modifica | modifica el codi]

Moltes de les propietats de la derivadaordinària, també les té la derivada direccional. Entre elles hi ha, per a qualssevol parell de funcions f i g definides en un entorn de p i derivables a p:

  • La regla de la suma:
  • La regla del producte per una constant: Per a qualsevol constant c,
  • La regla del producte:
  • La regla de la cadena: Si g és derivable a p i h és derivable a g(p), llavors

En geometria diferencial[modifica | modifica el codi]

Sia M una varietat diferenciable i p un punt de M. Suposant que f sigui una funció definida en un entorn de p, i que sigui derivable a p. Si v és un vector tangent a M en p, llavors la derivada direccional de f al llarg de v, escrita indiferentment com a (vegeu derivada covariant), (vegeu derivada de Lie), o (vegeu espai tangent), es pot definir tal com segueix. Sia γ : [-1,1] → M una corba derivable amb γ(0) = p i γ(0) = v. Llavors la derivada direccional es defineix per

Es pot demostrar que aquesta definició és independent de la tria de γ, suposant que γ se selecciona de la forma prescrita, és a dir γ'(0) = v.

Derivada normal[modifica | modifica el codi]

Una derivada normal és una derivada direccional presa en la direcció normal (és a dir ortogonal) a alguna superfície en l'espai, o de forma més general, al llarg d'un camp vectorial ortogonal a alguna hipersuperfície. Vegeu per exemple la condició de frontera de Neumann. Si la direcció normal s'escriu , llavors la derivada direccional d'una funció ƒ s'escriu de vegades .

Referències[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Derivada direccional Modifica l'enllaç a Wikidata
  1. Vegeu Tom Apostol. Mathematical Analysis. 2a ed.. Addison-Wesley, 1974, p. 344-345. ISBN 0-201-00288-4. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]