Derivada parcial

De Viquipèdia

En matemàtiques, s'anomena derivada parcial d'una funció de diverses variables a la seva derivada respecte a una d'aquestes variables, deixant les altres constants (de manera oposada a la derivada total, en la qual totes les variables poden variar).[1] Les derivades parcials són útils a càlcul vectorial i geometria diferencial.

La derivada parcial d'una funció f respecte a la variable x és representada per o o fx (on és una 'd'arrodonida, coneguda com el 'símbol de la derivada parcial', que coincideix amb la lletra ciríl·lica cursiva д i es pronuncia en català de la mateixa manera que la lletra "d".

Exemples[modifica]

Considerant el volum V d'un con; depèn de l'alçada h del con i del seu radi r, d'acord amb la fórmula

La derivada parcial de V respecte de r és

i descriu la velocitat a la qual el volum del con canvia si es varia el seu radi i es manté constant l'alçada. La derivada parcial de V respecte de h és

i representa la velocitat a la qual aquest volum canvia si es varia l'alçada i es deixa el radi constant.

Un altre exemple té a veure amb l'àrea A d'un cercle, encara que només depengui del radi r del cercle, d'acord amb la fórmula

La derivada parcial de A respecte de r és

Les equacions de les que es desconeix la derivada parcial de certa funció s'anomenen equacions de derivades parcials, i són omnipresents en tota la ciència.

Notació[modifica]

Pels exemples següents, sigui f una funció de x, y i z.

Derivades parcials de primer ordre:

Derivades parcials de segon ordre:

Derivades mixtes de segon ordre:

Derivades parcials d'ordre superior i derivades mixtes:

Quan es tracta amb funcions de múltiples variables, algunes d'aquestes variables poden estar relacionades entre elles, i pot ser necessari especificar explícitament quines variables es mantenen constants. En camps com la mecànica estadística, les derivades parcials de f respecte de x, deixant y i z constants, s'expressen sovint com a

Definició formal i propietats[modifica]

De la mateixa manera que les derivades ordinàries, les derivades parcials es defineixen com un límit. Sigui U un subconjunt obert de Rn i f : UR una funció. Es defineix la derivada parcial de f al punt a = (a1, ..., an) ∈ U respecte a la variable i-èsima xi com a[2]

Fins i tot si totes les derivades parcials ∂f/∂xi(a) existeixen en un punt a, la funció no ha de ser necessàriament contínua en aquest punt. En canvi, si totes les derivades parcials existeixen al voltant de a i són contínues en a, llavors f és totalment diferenciable en aquest entorn, i la derivada total és contínua. En aquest cas, es pot dir que f és una funció C¹

La derivada parcial ∂f/∂xi es pot veure com una altra funció definida en U i també pot ser diferenciable parcialment. Si totes les derivades parcials mixtes existeixen i són contínues, anomenem a f una funció C²; en aquest cas, les derivades parcials es poden intercanviar mitjançant el teorema de Clairaut:

Referències[modifica]

  1. Singh, Ravish R.; Bhatt, Mukul. Engineering Mathematics (en anglès). Tata McGraw-Hill Education, 2010, p. 4.1. ISBN 9780070146150 [Consulta: 26 desembre 2021]. «A partial derivative of a function of several variables is the ordinary derivative w.r.t. [with respect to] one of the variables, when all the remaining variables are kept constant.» 
  2. Bergin, James. «7.2 Partial derivatives». A: Mathematics for Economists with Applications (en anglès). Routledge, 2015. ISBN 9781317820154 [Consulta: 26 desembre 2021]. «The partial derivative of f with respect to xi is denoted and defined as: » 

Vegeu també[modifica]