Desigualtat de Bessel

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, especialment en anàlisi funcional, la desigualtat de Bessel és una proposició sobre els coeficients d'un element en un espai de Hilbert respecte a una successió ortonormal.

Sigui un espai de Hilbert, i suposi's que és una seqüència ortonormal en . Llavors, per a tot de es compleix que

on <·, ·> denota el producte interior en l'espai de Hilbert .[1][2][3] Si es defineix la suma infinita

la desigualtat de Bessel ens diu que aquesta sèrie matemàtica convergeix.

Per a una successió ortonormal completa (és a dir, per una successió ortonormal que alhora és una base ortonormal de ), hom té la identitat de Parseval, que reemplaça la desigualtat per una igualtat (i conseqüentment amb ).

En àlgebra lineal la desigualtat de Bessel estipula que donat un espai vectorial V amb producte interior definit, donada un subconjunt ortonormal de V, es compleix que per a tot x de V:

.

Referències[modifica]

  1. Saxe, Karen. Beginning Functional Analysis (en anglès). Springer Science & Business Media, 07-12-2001, p. 82. ISBN 9780387952246. 
  2. Zorich, Vladimir A.; Cooke, R. Mathematical Analysis II (en anglès). Springer Science & Business Media, 22-01-2004, p. 508–509. ISBN 9783540406334. 
  3. Vetterli, Martin; Kovačević, Jelena; Goyal, Vivek K. Foundations of Signal Processing (en anglès). Cambridge University Press, 04-09-2014, p. 83. ISBN 9781139916578.