Desigualtat de Laguerre-Samuelson

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

La desigualtat de Laguerre–Samuelson dóna fites per a les arrels de polinomis que tenen totes les arrels reals. En concret, la desigualtat s'enuncia per a polinomis mònics de grau n ≥ 2 tals que les seves n arrels x1,...,xn són nombres reals (el nombre d'arrels comptades amb multiplicitat és n pel teorema fonamental de l'àlgebra, però podrien ser qualsevol nombre complex). Donat un polinomi

si totes les arrels són reals, aleshores qualsevol arrel xi compleix que

Això es pot reescriure per a fitar xi entre dos valors, i s'obté un interval que conté totes les arrels:

Aquest resultat fou demostrat per primera vegada pel matemàtic Edmond Laguerre el 1880. Les fites establertes depenen dels coeficients an-1, an-2 i del grau del polinomi n. Si el polinomi no és mònic, només cal dividir-lo entre an per fer-lo mònic i obtenir la desigualtat corresponent.

L'economista Paul Samuelson arribà a un resultat equivalent el 1968, però enunciat en termes estadístics. Samuelson dóna fites pels valors d'una mostra x1,...,xn ∈ ℝ a partir de la mitjana aritmètica x̄, la desviació tipus σ i la mida mostral n. L'enunciat de Samuelson estableix que, per a qualsevol i = 1,...,n,

o bé, reescrivint-ho,

a on, per definició,

Tant en l'enunciat de Laguerre com en el de Samuelson s'estableix un interval que ha de contenir els n valors donats. L'interval està centrat, en el primer cas, en −an-1/n, que es pot veure que és la mitjana de les arrels, i en el segon cas directament en x̄. Aquest interval és la millor fita possible pels valors xi si només es coneix an-1, an-2 i n (o bé x̄, σ i n), ja que es poden posar exemples en què s'assoleix la igualtat.

Expressions per als coeficients del polinomi[modifica]

La factorització d'un polinomi mònic P(x) amb arrels x1,...,xn ∈ ℝ és

Desenvolupant aquest producte pels termes de grau més gran s'obté que

i així ja es poden expressar els coeficients an-1 i an-2 en funció de les arrels:

Equivalència dels enunciats[modifica]

L'equivalència entre els enunciats de Laguerre i Samuelson s'obté considerant com a mostra x1,...,xn ∈ ℝ les arrels d'un polinomi P(x), o viceversa.

Relació entre els paràmetres[modifica]

D'una banda,

De l'altra, fent servir la igualtat anterior i la identitat

es pot desenvolupar

i per tant

Així, ja tenim la relació entre els estadístics x̄ i σ i els coeficients an-1 i an-2, mentre que el grau n del polinomi és igual a la mida n de la mostra.

Equivalència de les desigualtats[modifica]

Partint de la desigualtat enunciada per Samuelson,

i substituint x̄ i σ per les expressions trobades a la subsecció anterior, s'obté

i aquesta és la desigualtat enunciada per Laguerre.

Demostració[modifica]

Per a demostrar que la desigualtat és vàlida per a qualsevol arrel xi de P(x), n'hi ha prou en veure-ho per a xn, ja que no hem suposat cap ordre per a les arrels. Cal veure, doncs, que

Substituint an-1 i an-2 per les seves expressions en termes de les arrels, això és que

Es pot desenvolupar

i per tant també

havent pres i, j ∈ {1,...,n}. Substituint a la desigualtat, s'obté

i simplificant,

Com que els dos costats són quantitats positives, es poden elevar al quadrat i s'obté una desigualtat equivalent:

Ara, desenvolupant el quadrat,

i substituint com abans,

que simplificant queda

Si se separen els termes amb xn s'obté

se segueix

i cancel·lant termes,

S'ha obtingut, finalment, una desigualtat que és equivalent a l'inicial (una es compleix si i només si es compleix l'altra) i que és clarament certa, ja que els termes de la dreta, en ser quadrats, mai poden ser negatius. Això conclou la demostració.

Casos d'igualtat[modifica]

La igualtat s'assoleix quan hi ha n−1 valors iguals i un de diferent. Quan el valor que va sol és el més petit s'assoleix la fita inferior, i quan és el més gran, la superior.

Efectivament, si x1 = ... = xn-1, llavors

les fites per a xi són

i aquestes fites s'assoleixen per xn.

Recíprocament, si s'assoleix la igualtat per a una arrel, la resta d'arrels han de ser iguals entre elles. Això es pot veure seguint els mateixos passos que a la secció «Demostració»: si es compleix la igualtat aleshores s'ha de complir que

i per tant, per a qualssevol i i j menors que n, xi = xj.

En el cas particular n = 2 l'interval té d'extrems les solucions de la fórmula de l'equació de segon grau, així que les fites sempre són exactes.

Referències[modifica]