Desigualtat de Màrkov

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La desigualtat de Màrkov en teoria de probabilitat proporciona una fita superior per a la probabilitat que una funció no negativa d'una variable aleatòria sigui major o igual que una constant positiva. El seu nom li ve del matemàtic rus Andrei Màrkov. La desigualtat de Màrkov relaciona les probabilitats amb l'esperança matemàtica i proporciona cotes útils-encara que habitualment poc ajustades-per a la funció de distribució d'una variable aleatòria.

Teorema[modifica | modifica el codi]

La desigualtat de Màrkov afirma que si X és una variable aleatòria qualsevol i a > 0, llavors

Prova[modifica | modifica el codi]

Per a qualsevol succés A, sigui IA la variable aleatòria indicadora d'A, és a dir, IA = 1 si ocorre A i és 0 en el cas contrari. Llavors

Per tant

Ara, noti's que el costat esquerre d'aquesta desigualtat coincideix amb

Per tant tenim

i com a > 0, es poden dividir dos costats entre a.

Prova alternativa[modifica | modifica el codi]

Una prova més formal, relacionada amb l'anàlisi real, és la següent:

A la introducció de , noti's que, ja que estem considerant la variable aleatòria només en els seus valors iguals o majors a , i, per tant, , de manera que en multiplicar per alguna cosa més gran a un serà igual o més gran. La segona desigualtat ve d'afegir la suma , que sempre serà positiva ja que s'integra una cosa positiva com és el valor absolut (per: que és positiva).