Desigualtat de Maclaurin

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, la desigualtat de Maclaurin, que rep el nom del matemàtic escocès Colin Maclaurin, és un refinament de la desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica.

Siguin nombres reals positius qualsevols, per definim les mitjanes com:

El numerador d'aquesta fracció és el polinomi simètric elemental de grau k en les n variables , és a dir, la suma de tots els productes de k nombres escollits de . El denominador és el nombre de termes del numerador, que s'expressa amb el coeficient binomial .

La desigualtat de Maclaurin és la següent cadena de desigualtats:

amb igualtat si i només si tots els són iguals.

Per n = 2, això dóna la desigualtat habitual entre les mitjanes aritmètica i geomètrica de dos nombres. El refinament que aporta Maclaurin a aquesta desigualtat es pot observar per exemple pel cas de n = 4:

La desigualtat de Maclaurin es pot provar utilitzant les desigualtats de Newton.

Referències[modifica]

  • Biler, Piotr. Problems in mathematical analysis. New York, N.Y.: M. Dekker, 1990. ISBN 0-8247-8312-3. 

Aquest article incorpora material sobre la Desigualtat de Maclaurin de PlanetMath, que es troba sota la llicència Creative Commons Reconeixement/Compartir igual (by-sa).