Desigualtat de Txebixov

De Viquipèdia
(S'ha redirigit des de: Desigualtat de Txebixev)
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La desigualtat de Txebixov és un resultat de la teoria de la mesura amb grans aplicacions a l'estudi de la probabilitat i l'estadística.

Aquest teorema pren el seu nom en honor a Pafnuti Txebixov, que proporcionà la primera demostració de la desigualtat formulada per Irénée-Jules Bienaymé.

Enunciat[modifica | modifica el codi]

Enunciat en el context de la teoria de la mesura[modifica | modifica el codi]

Sigui (X, Σ, μ) un espai mesurable i sigui f una funció real mesurable definida a X. Aleshores, per a tot nombre real t > 0,

De forma més general, si g és una funció real mesurable, no-negativa i creixent al rang de ƒ, aleshores

Podem obtenir la primera de les formulacions definint g(t) com

i agafant |ƒ| en lloc de ƒ a la segona expressió.

Enunciat probabilistic[modifica | modifica el codi]

En tant que un espai de probabilitats és un espai de mesura 1, retrobem un cas particular de la Desigualtat de Txebixef:

Sigui X una variable aleatòria no-negativa i una funció creixent tal que (on indica l'esperança de la variable aleatòria f(X)). Aleshores, per tot nombre real a es té:

Una versió menys general d'aquesta desigualtat que trobem a diverses obres de referència és

on indica la desviació típica de 'X'.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Desigualtat de Txebixov Modifica l'enllaç a Wikidata