Distribució del semicercle de Wigner

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

La distribució del semicercle de Wigner, o senzillament distribució del semicercle, va ser introduïda [1][2] pel físic hongarès-americà Eugene Wigner (1902-1995), premi Nobel de Física el 1963. Wigner va suggerir que els nivells d'energia d'un sistema atòmic estaven raonablement ben descrits (des d'un punt de vista estadístic) pels valors propis d'una matriu aleatòria de dimensió molt gran amb certes condicions de simetria.[3] Per aquest motiu estava interessat en el comportament asimptòtic de les matrius aleatòries.

A part de les matrius aleatòries, la distribució del semicercle és important en la teoria de les probabilitats lliures (free probability) (ambdós temes estan molt relacionats), i la majoria de resultats sobre aquesta distribució es troben en llibres i articles d'aquests camps.

Funció de densitat i moments[modifica]

La funció de densitat de la distribució del semicercle és [4]

Correspon a una distribució beta amb quatre paràmetres amb , i . El gràfic d'aquesta densitat és una semi-el·lipse, vegeu la la Figura 1.

Figura 1. Funció de densitat de la distribució del semicercle

Aquesta distribució té moments de tots els ordres. Si designem per el moment d'ordre , tenim que

on

és l'-èsim nombre de Catalan. Compareu aquests moments amb els d'una distribució normal estàndard. En particular, si té distribució del semicercle, llavors


La destribució del semicercle està determinada pels moments, això és, si tenim una distribució de probabilitat que té els moments (1), aleshores és la distribució del semicercle. Això es degut a que la distribució del semicercle té suport compacte.[5]

Funció generatriu de moments, funció característica i transformada de Stieltjes[modifica]

La distribució del semicercle té funció generatriu de moments en tot ,

on és la funció de Bessel modificada amb .


La funció característica val

on és la funció de Bessel amb .

Per estudiar les propietats de les matrius aleatòries, s'utlitza la transformada de Stieltjes. La transformada de Stieltjes d'una probabilitat a es defineix [8] per

on és el suport de ; en particular, està ben definida en . Si la probabilitat té densitat , aleshores
La transformada de Stieltjes determina unívocament una distribució de probabilitat i té molt bones propietats respecte la convergència feble de probabilitats.[9] La funció també s'anomena transformada de Cauchy.[10]


La distribució del semicercle té transformada de Stieltjes donada per

Per a una demostració mitjançant càlcul de residus, vegeu Bai and Silverstein.[11]


Distribució del semicercle amb paràmetres[modifica]

Diversos autors introdueixen una distribució del semicercle amb un o dos paràmetres. Cal dir que les notacions no són universals. La distribució del semicercle amb paràmetre i ve donada per la densitat [12]


La definició inicial que hem donat a la primera secció correspon als paràmetres i . Designarem aquesta distribució per . Quan , llavors la denotarem per .

Si és una variable aleatòria amb la distribució del semicercle, , aleshores , la qual cosa permet deduir els moments, la funció generatriu de moments, etc. de la distribució .

Estudiem amb més detall la distribució : la seva densitat és

Vegeu a la Figura 2 diverses densitats segons el paràmetre .

Figura 2. Funció de densitat de la distribució del semicercle de amb paràmetre


Aplicant que si , aleshores , deduïm que el moment d'ordre de és

En particular, si considerem una variable aleatòria llavors,

La funció generatriu de moments és

La funció característica val

El resultat de Wigner[modifica]

Ens limitarem al cas de matrius aleatòries reals; per a resultats més generals, vegeu, per exemple, Anderson et al..[4] Considerem un espai de probabilitat . Una matriu aleatòria (real) és una matriu

on cada component és una variable aleatòria ordinària.
Considerarem només matrius simètriques i suposarem certes condicions d'independència i sobre els moments de les variables. Concretament, suposarem:

1. Les variables de la diagonal són independents i tenen la mateixa distribució (iid), amb variància finita.
2. Les variables són independents i tenen la mateixa distribució (iid), amb esperança i variància .
3. Les variables del triangle inferior esquerra s'obtenen per simetria respecte de la diagonal: , amb la qual cosa la matriu serà simètrica.


Així, la matriu serà de la forma

Les matrius amb aquestes característiques o similars (depenent dels autors, vegeu les referències citades) s'anomenen matrius de Wigner.


Atès que la matriu és simètrica, els seus valors propis seran tots reals; els designarem per , i degut al caràcter aleatori de la matriu, seran variables aleatòries. Per a (en rigor, és un subconjunt de Borel de ) definim

on és el cardinal d'un conjunt . Es tracta d'una probabilitat aleatòria, ja que per a cada realització de l'experiment aleatori, ,
serà una probabilitat ordinària sobre . La funció s'anomena mesura espectral empírica [13] de la matriu .

Teorema.[14] Considerem una successió de matrius aleatòries , , de dimensions , amb les propietats 1,2 i 3 que hem enunciat abans. Definim

i designem per la mesura espectral empírica de . Aleshores, amb probabilitat 1,
on és la distribució del semicercle.

Figura 3. Il·Iustració del teorema de Wigner. En blau histograma dels valors propis d'una matriu i en vermell la densitat de la distribució del semicercle.


Per fer una il·lustració empírica d'aquest teorema, s'han calculat els valors propis d'una matriu amb , amb totes les variables amb distribució normal estàndard . A la Figura 3 hi ha l'histograma dels 1000 valors propis (en blau), on s'ha superposat el gràfic de la funció de densitat de la distribució del semicercle (en vermell).

Distribució del semicercle i probabilitats lliures[modifica]

La distribució dels semicercle té, en probabilitats lliures (free probability), un paper anàleg en molts aspectes al de la distribució normal. Per exemple, en el teorema central del límit per a variables lliures el límit és una distribució del semicercle.[15] De la mateixa manera que la distribució normal estàndard està caracteritzada perquè tots els cumulants són zero, excepte el d'ordre 2 que val 1, la distribució del semicercle ho està pel fet que tots els cumulants lliures són zero excepte el d'ordre 2 que és 1.[16]

Notes[modifica]

  1. Wigner, Eugene P. «Characteristic Vectors of Bordered Matrices With Infinite Dimensions». The Annals of Mathematics, 62, 3, 1955-11, pàg. 548. DOI: 10.2307/1970079.
  2. Wigner, Eugene P. «On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices». Annals of Mathematics, 67, 2, 1958, pàg. 325–327. DOI: 10.2307/1970008. ISSN: 0003-486X.
  3. Mehta, M. L.. Random matrices. 3rd ed. Amsterdam: Academic Press, 2004. ISBN 0-08-047411-X. 
  4. 4,0 4,1 Anderson, Greg W.; Guionnet, Alice; Zeituni, Ofer. An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. 7. ISBN 978-0-521-19452-5. 
  5. Mingo, James A.; Speicher, Roland. Free probability and random matrices, 2017, p. 34. ISBN 978-1-4939-6942-5. 
  6. Olver, F. J., Lozier, D.W., Boisvert R. F. and Clark C. W. (edit). NIST handbook of mathematical functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. 252, fórmula 10.32.1. ISBN 978-0-521-19225-5. 
  7. Olver, F. J., Lozier, D.W., Boisvert R. F. and Clark C. W. (edit). NIST handbook of mathematical functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. 224, fórmula 10.9.4. ISBN 978-0-521-19225-5. 
  8. Tao, Terence. Topics in random matrix theory. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2012, p. 143. ISBN 978-0-8218-7430-1. 
  9. Anderson, Greg W.; Guionnet, Alice; Zeituni, Ofer. An introduction to random matrices. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. 44-45. ISBN 978-0-521-19452-5. 
  10. Mingo, James A.; Speicher, Roland. Free probability and random matrices, 2017, p. 60. ISBN 978-1-4939-6942-5. 
  11. Bai, Zhidong; Silverstein, Jack W.. Spectral analysis of large dimensional random matrices. 2nd ed. Nova York: Springer, 2010, p. 32. ISBN 978-1-4419-0661-8. 
  12. Hiai, Fumio; Petz, Dénes. The semicircle law, free random variables, and entropy. Providence, RI: American Mathematical Society, 2000, p. 23. ISBN 0-8218-2081-8. 
  13. Bai, Zhidong; Silverstein, Jack W. Spectral analysis of large dimensional random matrices. 2nd ed. New York: Springer, 2010, p. 5. ISBN 978-1-4419-0661-8. 
  14. Bai, Zhidong; Silverstein, Jack W. Spectral analysis of large dimensional random matrices. 2nd ed. New York: Springer, 2010, p. 20. ISBN 978-1-4419-0661-8. 
  15. Voiculescu, D. V.; Dykema, K.J.; Nica, A. Free random variables : a noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras, and harmonic analysis on free groups. Providence, R.I., USA: American Mathematical Society, 1992, p. 29. ISBN 0-8218-6999-X. 
  16. Mingo, James A.; Speicher, Roland. Free probability and random matrices, 2017, p. 44. ISBN 978-1-4939-6942-5.