Distribució t de Student

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En probabilitat i estadística, la distribució t de Student és una distribució de probabilitat que sorgeix del problema d'estimar la mitjana d'una població normalment distribuïda quan la mida de la mostra es petita. Aquesta és la base de la popular prova t de Student per a la determinació de les diferències entre dues mitjanes mostrals i per a la construcció de l'interval de confiança per a la diferència entre les mitjanes de dues poblacions.

La distribució t sorgeix, en la majoria dels estudis estadístics pràctics, quan la desviació típica d'una població es desconeix i ha de ser estimada a partir de les dades d'una mostra.

Aparició i especificacions de la distribució t de Student[modifica | modifica el codi]

Suposem que X1, ..., Xn són variables aleatòries independents distribuïdes normalment, amb mitjana μ i variància σ2. Sigui:

\overline{X}_n=(X_1+\cdots+X_n)/n

la mitjana mostral i

{S_n}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(X_i-\overline{X}_n\right)^2

la variància mostral. Llavors, queda demostrat que

Z=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}

es distribueix segons una normal de mitjana 0 i variància 1.

Gosset va estudiar una expressió relacionada,

T=\frac{\overline{X}_n-\mu}{S_n/\sqrt{n}}

i va mostrar que T té la següent funció de densitat:

f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}

Amb  \nu igual a n − 1.

La distribució de T s'anomena ara distribució t de Student.

El paràmetre \nu designa convencionalment el nombre de graus de llibertat. La distribució depèn de  \nu , però no de  \mu o  \sigma ; la independència de  \mu i  \sigma és el què fa a la distribució t de Student tan important en la teoria i en la pràctica.  \Gamma és la funció Gamma.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució t de Student Modifica l'enllaç a Wikidata