Equació (àlgebra elemental)

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

Una equació és una igualtat entre expressions matemàtiques que només és certa per a certs valors de les variables que formen aquestes expressions. Aquestes variables s'anomenen normalment incògnites. La primera incògnita s'anomena X, seguint la tradició d'Omar Khayyam i se segueix atribuint lletres com Y, Z a les subseqüents.

Els valors que poden prendre les incògnites s'anomenen solucions de l'equació i solucionar una equació vol dir trobar aquests valors. Per exemple

és una equació d'una sola incògnita, la x. Com es pot comprovar fàcilment, qualsevol valor de x no compleix l'equació, només dos valors, x = 2 i x = 3, que són les seves solucions. Un altre exemple pot ser:

que també és una equació (no algebraica) d'una variable. En aquest cas la solució és x = 0, x = 2π, etc.

Habitualment s'utilitzen les primeres lletres de l'alfabet llatí a, b, c, etc. per a denotar constants en les equacions, mentre que es reserven les lletres del final de l'alfabet, x, y, z, etc. per indicar les incògnites.

A les dues expressions que igualem se les anomena termes de l'equació. En la majoria de casos una equació tindrà només dos termes.

En el cas en què es tinguin diverses equacions que s'han de verificar simultàniament, es parla de sistemes d'equacions. Segons la potència màxima a que està elevada la incògnita de l'equació es parla d'equacions de primer grau, equacions de segon grau, etc.

El concepte d'equació és molt més general i es pot aplicar també a funcions, no simplement a nombres. En aquest cas el problema és trobar una funció o família de funcions que verifiquin determinades condicions. Per exemple, es pot imposar la condició que una funció sigui igual a la seva derivada:

Això és una equació diferencial i la seva solució és

Resolució d'equacions[modifica]

Aïllar la incògnita[modifica]

El mètode més bàsic per resoldre equacions s'anomena aïllar la incògnita. Consisteix a anar fent operacions a tots dos membres (sempre la mateixa operació a ambdós) de manera que es conservi la igualtat, fins que un dels membres sigui una x.

Exemple 1. Equació lineal:


sumem els termes en x
dividim els dos membres per 6 →
fem la divisió 6/6 →


Exemple 2: S'anomenen equacions incompletes les equacions de segon grau en les quals falta el terme en x (b=0) o el terme idependent (c=0)

  • Si falta el terme en x (b=0), l'equació de segon grau ens quedarà d'aquesta forma:
Per a resoldre l'equació només haurem d'aïllar x² i fer la seva arrel quadrada; per tant: →


  • Si falta el terme en independent(c=0), l'equació de segon grau ens quedarà d'aquesta forma:
Es divideix a costat i costat per
Òbviament hi ha dos punts de resolució de l'equació.

Exemple 3. Equació de tercer grau sense termes en x2 ni x:

afegim 2 a ambdós membres →
fem la suma →
traiem l'arrel cúbic als dos membres per eliminar la potència 3 →
calculem l'arrel →

Sistemes d'equacions[modifica]

Article principal: Sistema lineal d'equacions

Els sistemes d'equacions apareixen quan volem trobar més d'una incògnita. Ens faran falta tantes equacions com incògnites tinguem.

Per exemple:

x=1+y
2x=y
és un sistema d'equacions que té com a solució x=-1 i y=-2

Existeixen tres mètodes bàsics. Tot i això, alguns sistemes poden tenir altres mètodes específics.

  • Igualació

Consisteix a aïllar la mateixa incògnita a totes les equacions, i després igualar-les entre elles. El procés es repeteix fins que aconseguim una sola equació d'una incògnita.


Una vegada s'ha trobat un valor, se substitueix en totes les equacions. Com que ara hi ha més equacions que incògnites, podem treure una equació del sistema. Es torna a fer el procés anterior fins a tenir el valor de totes les incògnites.


  • Substitució

Una vegada s'ha trobat un valor, se substitueix en totes les equacions. Com que ara hi ha més equacions que incògnites, podem treure una equació del sistema. Es torna a fer el procés anterior fins a tenir el valor de totes les incògnites.



  • Reducció

Per a solucionar un sistema d'equacions amb aquest mètode cal fer que una de les incògnites tingui el mateix coeficient en totes les equacions. Després, es resten membre a membre per a eliminar una de les incògnites. Un cop trobada aquesta incògnita, se'n substitueix el valor en totes les altres equacions primitives per tal d'obtenir la segona incògnita, i així successivament.

Es multiplica la primera equació per 2:

Es resten les dues equacions:

i per tant

Ara només cal substituir el valor de y en qualsevol de les dues equacions per a obtenir la x.

Expressió general de l'equació de segon grau[modifica]

Article principal: Equació de segon grau

L'equació polinòmica de segon grau és tan comú que s'ha trobat una expressió general per resoldre-la.

Donada una equació de segon grau qualsevol,

Les dues solucions de l'equació vénen donades per la següent expressió general:

El terme s'anomena discriminant.

Equacions biquadrades[modifica]

Són aquelles equacions polinòmiques de quart grau que no tenen termes de grau senar, i que tenen quatre solucions:

Només cal realitzar la igualtat

i tractar-la com una equació de segon grau qualsevol.

Per exemple:

Fem que

i així

Resolent l'equació de segon grau:

Finalment, hem de trobar els dos valors de x per a cadascun dels dos valors de z:

Equacions amb x en el denominador[modifica]

Els denomindors algebraics, igual que els numèrics, se suprimeixen multiplicant pel producte de tots o, millor, pel seu mínim comú múltiple.L'equació a la qual s'arriba així pot ser de les que sabem resoldre.

Equacions irracionals[modifica]

Són aquelles que contenen polinomis o fraccions algèbriques sota d'un signe radical.

Per a resoldre-les cal transformar-les per eliminar l'arrel elevant els dos membres de l'equació a n (índex de l'arrel). En aquest procés de transformació es conserven totes les solucions però se'n poden introduir de noves que caldrà rebutjar comprovant les solucions.

Per exemple, és una equació irracional d'índex quadràtic amb una sola incògnita. El procediment de resolució és el següent:

S'aïlla un sol radical en un dels dos membres de l'equació

S'eleven al quadrat els dos membres

Si l'equació resultant és irracional, es repeteix el procés anterior les vegades que calguin perquè desapareguin tots els radicals

Es resol l'equació sense radicals (en aquest cas és una equació de segon grau) i obtenim

Es comproven les solucions a l'equació original

Si aleshores vàlida

Si aleshores no vàlida