Equació de Helmholtz

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Dues fonts de radiació en el pla, definida matemàticament per la funció ƒ, que és zero a la regió blava
La part real del camp A resultant, on A és la solució a l'equació

La equació de Helmholtz , anomenada així per Hermann von Helmholtz ve donada per:

on és el laplacià, és una constant (nombre d'ona), i un camp escalar, és aquest cas, el camp magnètic i elèctric.

Deducció teòrica de l'equació[modifica]

Anem a mostrar com es dedueixen les equacions de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per medis[1] no conductors lliures de fonts caracteritzats per i , les equacions de Maxwell es redueixen a:

A :

B :

C :


D :


Les equacions anteriors A , B , C i D són equacions diferencials de primer grau per als camps i . Podem combinar per produir una equació de segon grau contenint únicament o . Fem servir les equacions A i B i operant s'obté:


Però sabem que:

i utilitzant l'equació C tenim que:

Per tant substituint els termes tenim finalment que:

La velocitat de fase ve donada per:

el que significa que:

i per tant, substituint, tenim:

Anàlogament podem treure l'equació per :

Com podem apreciar, les dues equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogènies . Descomponent aquestes dues equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descompondre'l en tres equacions d'ones escalars, homogènies i unidimensionals. Cada component del camp elèctric i magnètic ha de satisfer una equació la solució representa una ona. Per camps amb dependència harmònica amb el temps convenientment utilitzada fasors. D'aquesta manera del deduït previ, s'arriba a la conclusió:

o

Anàlogament trobem la següent equació per al camp electromagnètic:

Bibliografia[modifica]

  • Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications, 1964. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J.. «Chapter 19». A: Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-89067-5. 
  • Riley, K. F.. «Chapter 16». A: Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books, 2002. ISBN 1-891389-24-6. 
  • Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl. «Chapter 3». A: Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons, 1991, p. 80–107. ISBN 0-471-83965-5. 
  • Sommerfeld, Arnold. «Chapter 16». A: Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press, 1949. ISBN 0126546568. 
  • Howe, M. S.. Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-63320-6. 

Referències[modifica]

  1. Relativitat especial i electrodinàmica clàssica. Edicions Universitat Barcelona, 1998, p. 63–. ISBN 978-84-8338-048-2. 
  • David K. Cheng "Fonaments d'Electromagnetisme per enginyeria"
  • Pozar D.M. "Microwave engineering"