Equació de Helmholtz

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La equació de Helmholtz , anomenada així per Hermann von Helmholtz ve donada per:

on és el laplacià, és una constant (nombre d'ona), i un camp escalar, és aquest cas, el camp magnètic i elèctric.

Deducció teòrica de l'equació[modifica | modifica el codi]

Anem a mostrar com es dedueixen les equacions de Helmholtz a partir de les equacions de Maxwell. Per mitjans no conductors lliures de fonts caracteritzats per i , les equacions de Maxwell es redueixen a:

A :

B :

C :


D :


Les equacions anteriors A , B , C i D són equacions diferencials de primer grau per als camps i . Podem combinar per produir una equació de segon grau contenint únicament o . Fem servir les equacions A i B i operant s'obté:


Però sabem que:

i utilitzant l'equació C tenim que:

Per tant substituint els termes tenim finalment que:

La velocitat de fase ve donada per:

el que significa que:

i per tant, substituint, tenim:

Anàlogament podem treure l'equació per :

Com podem apreciar, les dues equacions anteriors són les equacions d'ona vectorials homogènies . Descomponent aquestes dues equacions obtingudes en coordenades cartesianes podem descompondre'l en tres equacions d'ones escalars, homogènies i unidimensionals. Cada component del camp el}ectric i magnètics ha de satisfer una equació la solució representa una ona. Per camps amb dependència harmònica amb el temps convenientment utilitzada fasors. D'aquesta manera del deduït previ, s'arriba a la conclusió:

o

Anàlogament trobem la següent equació per al camp electromagnètic:


Referències[modifica | modifica el codi]

  • David K. Cheng "Fonaments d'Electromagnetisme per enginyeria"
  • Pozar D.M. "Microwave engineering"