Equació de Hill

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Aquest article tracta sobre una equació diferencial ordinària. Si cerqueu una equació utilitzada a bioquímica, vegeu «Equació de Hill (bioquímica)».

En matemàtiques, l'equació de Hill o equació diferencial de Hill és l'equació diferencial ordinària lineal de segon ordre:

on és una funció periòdica per període mínim . Per això, diem que per a tots

i si és un nombre dins de l'interval , llavors hi ha almenys un interval real de tal manera que per a .[1]

El seu nom prové de George William Hill, que la va introduir el 1886.[2]

Sempre es pot tornar a escriure de manera que el període de és igual a ; llavors l'equació de Hill es pot reescriure utilitzant la sèrie de Fourier de :

Alguns casos especials importants de l'equació de Hill inclouen l'equació de Mathieu (en la qual només els termes corresponents a són inclosos) i l'equació de Meissner.

L'equació de Hill és un exemple important en la comprensió de les equacions diferencials periòdiques. Segons la forma exacta de , les solucions poden mantenir-se limitades per tots els temps, o l'amplitud de les oscil·lacions en solucions pot créixer de manera exponencial.[3] La forma precisa de les solucions de l'equació de Hill es descriu per la teoria de Floquet. Les solucions també es poden escriure en termes de determinants de Hill.

A part de la seva aplicació original a l'estabilitat lunar, l'equació de Hill apareix en molts paràmetres incloent la modelització d'un espectròmetre de masses quadrupolar, com a equació de Schrödinger unidimensional d'un electró en un cristall, òptica quàntica de sistemes de dos nivells, i en física dels acceleradors.

Referències[modifica]

  1. Magnus, W.; Winkler, S. Hill's equation (en anglès). Courier, 2013. ISBN 9780486150291. 
  2. Hill, G.W. «On the Part of the Motion of Lunar Perigee Which is a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon» (en anglès). Acta Math., 8(1), 1886, pàg. 1–36. DOI: 10.1007/BF02417081.
  3. Teschl, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (en anglès). American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. 

Bibliografia[modifica]

Enllaços externs[modifica]