Equació de Pauli

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En mecànica quàntica, l'equació de Pauli o equació de Schrödinger-Pauli és la formulació de l'equació de Schrödinger per partícules de spin -½, que té en compte la interacció de l'spin de la partícula amb un camp electromagnètic extern. Aquesta equació és el límit no relativista de l'equació de Dirac, i es pot utilitzar quan les partícules es mouen a velocitats molt inferiors a la velocitat de la llum, de manera que els efectes relativistes són negligibles. Va ser formulada per Wolfgang Pauli a l'any 1927.[1][2]

L'equació[modifica]

L'equació de Pauli és:

Equació de Pauli (general)

on:

  • és la massa de la partícula.
  • és la càrrega elèctrica de la partícula.
  • és un "vector" on les tres components són precisament les matrius de Pauli bidimensionals.
  • és l'operador vectorial associat al moment lineal. Les components d'aquest vector són .
  • és el potencial vectorial del camp electromagnètic.
  • és el potencial elèctric escalar.
  • és un espinor format per dos components, que es pot representar com:

.

Forma alternativa[modifica]

Si es fan servir les propietats de les matrius de Pauli, es demostra fàcilment la següent igualtat:[3]

I com:

L'equació es pot reescriure de la següent forma:

Equació de Pauli (forma estàndard)


Relació amb l'equació de Schrödinger i l'equació de Dirac[modifica]

L'equació de Pauli no és relativista, sinó que incorpora l'spin. Com a tal, es pot considerar que ocupa el punt intermedi entre:

  • L'equació familiar de Schrödinger (en una funció d'ona escalar complexa), que no és relativista i no prediu l'spin.
  • L'equació de Dirac (en un espinor complex de quatre components), que és completament relativista (pel que fa a la relativitat especial) i prediu l'spin.

Tingueu en compte que a causa de les propietats de les matrius de Pauli, si el potencial del vector magnètic A és igual a zero, llavors l'equació es redueix a l'equació de Schrödinger coneguda d'una partícula en un potencial purament elèctric ϕ, excepte que opera en un espinor de dos components:

Per tant, podem veure que l'spin de la partícula només afecta el seu moviment en presència d'un camp magnètic.

Relació amb l'experiment de Stern–Gerlach[modifica]

Els dos components de l'espinor satisfan l'equació de Schrödinger. Per a una partícula en un camp B aplicat externament, l'equació de Pauli és:

Equació de Pauli (Camp B)

on

és la matriu d'identitat 2 × 2, que actua com a operador de identitat. El terme de Stern-Gerlach pot obtenir l'orientació de l'spin dels àtoms amb un electró de valència, com per exemple, els àtoms de plata que flueixen a través d'un camp magnètic no homogeni. De manera anàloga, el terme de Stern-Gerlach és responsable de la divisió de les línies espectrals (corresponents als nivells d'energia) en un camp magnètic, com es pot veure en l'anòmal efecte Zeeman.

Referències[modifica]

  1. Wolfgang Pauli (1927) Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons Zeitschrift für Physik (43) 601-623
  2. https://www.quora.com/How-do-you-derive-the-Pauli-equation-from-the-hamiltonian-of-a-charged-particle-in-an-electromagnetic-field-Do-you-just-simply-add-the-pauli-matrix
  3. L. De la Peña, p. 523.