Equació de Poisson

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques l'equació de Poisson és una equació diferencial en derivades parcials que s'utilitza a bastament en electrostàtica, enginyeria mecànica i física teòrica. Rep el seu nom en honor al matemàtic, geòmetra i físic francès Siméon Denis Poisson.

L'equació de Poisson és:

on és l'operador laplacià, i f i φ són funcions amb valors reals o complexos sobre una varietat. Quan la varietat és un espai euclidià, l'operador laplacià s'acostuma a escriure com i l'equació de Poisson s'escriu com

En un sistema de coordenades cartesianes tridimensional pren la forma

Per la desaparició de f, aquesta l'equació esdevé l'equació de Laplace

L'equació de Poisson pot ser resolta utilitzant diferents mètodes com ara la funció de Green o mètodes numèrics com el mètode de les diferències finites o el mètode dels elements finits. D'altra banda en gravitació relativista s'utilitzen mètodes de resolució basats en la transformada de Fourier.

Electrostàtica[modifica | modifica el codi]

Una de les pedres angulars de l'electrostàtica és el plantejament i solució de problemes que són descrits per mitjà de l'equació de Poisson. Buscar φ per un valor f donat és un problema pratic important en tant que és la via habitual de trobar el potencial elèctric per a una distribució de càrrega donada. En unitats del SI:

on és el potencial elèctric (en volts), és la densitat de càrrega (en coulombs per metre cúbic), i és la permitivitat del buit (en farads per metre).

A una regió de l'espai on no hi ha densitat de càrregues desaparellades, tenim

i l'equació per al potencial esdevé l'equació de Laplace:

Potencial d'una densitat de càrrega Gaussiana[modifica | modifica el codi]

Si hi ha una distribució gaussiana de densitat de càrrega simètrica en forma d'esfera :

on Q és la càrrega total, llavors la solució Φ (r) de l'equació de Poisson

vindrà donada per

on erf(x) és la funció d'error.

Aquesta solució pot ser comprovada per mitjà d'una avaluació manual de .

Noteu que per a un valor de r molt més gran que σ, erf(x)s'aproxima a la unitat i el potencial Φ (r) s'aproxima al potencial elèctric de la càrrega puntual , tal com era d'esperar.

Problema de Neumann[modifica | modifica el codi]

Article principal: Problema de Neumann

El problema de Neumann és similar a l'anterior però en lloc de fixar el valor de la funció incògnita sobre la frontera, fixa el valor de la derivada perpendicularment a la superfície

(3)

Referències[modifica | modifica el codi]

  • Poisson Equation a EqWorld: El món de les equacions.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9