Equació diferencial de Bernoulli

Vegeu «Principi de Bernoulli» per a informació sobre l'equació en el camp de la dinàmica de fluids.

En matemàtiques, s'anomena equació diferencial de Bernoulli (o sovint equació de Bernoulli) a una equació diferencial ordinària de la forma

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$

Per resoldre aquesta equació, s'han de seguir els següents passos: Dividir entre $y^{n}$:

${\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x).$ (1)

Fer un canvi de variables amb

$w={\frac {1}{y^{n-1}}}$

i

$w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'.$

Després de substituir, s'aconsegueix l'equació diferencial de primer ordre

${\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x)$ (2)

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

$M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}$

Exemple

Donada l'equació de Bernoulli següent

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

Després de dividir per $y^{2}$, aconseguim

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

de manera que el canvi de variables és

$w={\frac {1}{y}}$ i $w'={\frac {-y'}{y^{2}}}$

Això porta a

$w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}$

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}$

Després de multiplicar les dues bandes per $M(x)$ es té que

$w'x^{2}+2xw=x^{4},\,$

i es pot observar que la banda esquerra és la derivada de $wx^{2}$ (recordant que $w$ és una funció de $x$). Integrant a les dues bandes, es troba

$\int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx$

que dona

$wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C,$

${\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C$

i finalment

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}$

Bibliografia

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. Fórmulas y tablas de matemática aplicada, 1992. ISBN 84-7615-197-7.