Equació diferencial lineal

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, les equacions diferencials lineals són equacions diferencials que tenen solucions que poden sumar-se per obtenir altres solutions. Poden ser ordinàries (EDOs) o parcials (EDPs). Les solucions d'equacions linears formen un espai vectorial (a diferència de les equacions diferencials no lineals).

Una equació diferencial lineal és una equació diferencial que té

on l'operador diferencial L és un operador lineal, y és la funció desconeguda (per exemple una funció del temps y(t)), i el terme de la dreta ƒ és una funció donada de la mateixa natura que y. Per a una funció dependent del temps es pot escriure l'equació com

i, fins i tot més precisament

L'operador lineal L es pot considerar de la forma.[1]

La condició de linealitat de L exclou operacions com el quadrat de la derivada de y; però admet, per exemple, la derivada segona de y. És convenient reescriure aquesta equació en forma d'operador

on D és l'operador diferencial d/dt (és a dir Dy = y, D 2y = y"... ), i An són funcions donades.

Tal equació es diu que té ordre n, l'índex de la derivada més alt de y.

Un exemple simple típic és l'equació diferencial lineal que es fa servir per modelitzar la decadència radioactiva.[2] Sia N(t) el nombre d'àtoms radioactius en alguna mostra de material (com una porció del drap del sudari de Torí[3]) en el moment t. Llavors per a alguna constant k > 0, el nombre d'àtoms radioactius que es descomponen es pot modelar per

Si y és se suposa que és una funció de només una variable, es parla d'una equació diferencial ordinària, si les derivades i els seus coeficients s'entenen com (contrets) vectors, matrius o tensors de rang superior, es té una equació diferencial en derivades parcials (lineal).

El cas on ƒ = 0 s'anomena una equació homogènia i les seves solucions s'anomenen funcions complementàries. És especialment important per la solució del cas general, ja que qualsevol funció complementària es pot afegir a una solució de l'equació no homogènia per donar una altra solució (per un mètode tradicionalment anomenat integral particular i funció complementària). Quan els Ai són nombres, l'equació es diu que té coeficients constants.

Equacions homogènies amb coeficients constants[modifica | modifica el codi]

El primer mètode de resoldre equacions diferencials lineals ordinàries amb coeficients constants és degut a Euler, que es va adonar que les solucions tenen la forma , per a valors possiblement complexos de . La funció exponencial és una de les poques funcions que conserven la mateixa forma després de calcular-ne la derivada. Per tal que la suma de múltiples derivades d'una funció doni zero, les derivades s'han de cancel·la mútuament i l'única manera que facin això és que les derivades tinguin la mateixa forma de la funció inicial. Així, per resoldre

posem , el que porta a

Dividint entre e  zx dóna l'equació polinòmica de grau n

Aquesta equació algebraica F (z) = 0, és l'equació característica estudiada més tard permonge i Cauchy.

Formalment, els termes

de l'equació diferencial original són substituïts per z k. Resolent l'equació polinòmica s'obtenen n valors de z, z 1, ..., z n . Substituint qualsevol d'aquells valors per z a e  zx dóna una solució ezi x. Com que les equacions diferencials lineals homogènies obeeixen el principi superposició, qualsevol combinació lineal d'aquestes funcions també satisfà l'equació diferencial.

Quan aquestes arrels són completament diferents, es tenen n solucions diferents de l'equació diferencial. Es pot demostrar que aquestes són linealment independents, aplicant el determinant de Vandermonde, i totes juntes formen una base de l'espai de totes les solucions de l'equació diferencial.

Exemples

Té l'equació característica

Els seus zeros són, i, −i, i 1 (multiplicitat 2). La solució base és llavors

Això correspon solució base amb valors reals

El precedent dona una solució per al cas en què tots els zeros són diferents, és a dir, cada un té multiplicitat 1. Per al cas general, si z és un zero (o arrel) (possiblement complexa) de F(z) i té multiplicitat m, llavors, per , és una solució de l'EDO. Aplicant això a totes les arrels dóna una col·lecció de n funcions diferents i linealment independents, on n és el grau de F (z). Com abans, aquestes funcions constitueixen una base de l'espai solució.

Si els coeficients Ai de l'equació diferencial són reals, llavors en general les solucions reals són preferibles. Com que les arrels no reals z venir en parelles de complexos conjugats, també les seves funcions base corresponents xkezx, i el resultat desitjat s'obté canviant cada parell per la combinació lineal dels valors reals de la seva part real la seva part imaginaria.

Un cas que impliqui arrels complexes es pot resoldre amb l'ajut de La fórmula d'euler.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Donat . L'equació característica és que té zeroes 2+ ii 2− i. Així la solució base és . Ara y és una solució si i només si per a .

Com que els coeficients són reals,

  • Probablement no hi ha interes en les solucions complexes
  • els elements base són mútuament conjugats

Les combinacions lineals

i

donaran una base real en .

Oscil·lador harmònic simple[modifica | modifica el codi]

L'equació diferencial de segon ordre

que representa un moviment harmònic simple, es pot reformular com

L'expressió en parèntesi es pot descompondre en factors, donat

que té un parell de solucions linealment independents, una per

i un altre per

Les solucions són, respectivament,

i

Aquestes solucions proporcionen una base per l'"espai solució" bidimensional de l'equació diferencial de segon ordre: El que vol dir que les combinacions lineals d'aquestes solucions també seran solucions. En particular, es poden construir les solucions següents

i

Aquestes dues últimes solucions trigonomètriques són linealment independents, per tant poden servir per a una altra base per a l'espai de solució, produint la solució general següent:

Dscil·lador harmònic esmorteït[modifica | modifica el codi]

Donada l'equació de l'oscil·lador harmònic esmorteï:

l'expressió entre parèntesis es pot descompondre en factors: primer s'obté l'equació característica substituint D per λ;. Aquesta equació ha de ser satisfeta per a tot y, per tant:

Es resol fent servir la fórmula de l'equació de segon grau:

Es fan servir aquestes dades per descompondre en factors l'equació diferencial original:

Això implica un parell de solucions, corresponents a

i un altre a

Les solucions són, respectivament

i

on ω; = b / 2 m. A partir d'aquest parell linealment independent de solucions es pot construir un altre parell linealment independent que serveixen com a base per l'espai de solució bidimensional:

Tanmateix, si|ω| < |ω0| llavors és preferible alliberar-se dels imaginaris que en resulten, expressant la solució general com

Aquesta última solució correspon al cas no esmorteït, mentre que l'anterior correspon al cas sobreesmorteït: les solucions per al cas d'infraesmorteït oscil·len mentre que les solucions per al cas sobreesmorteït no ho fan.

Equació no homogènia amb coeficients constants[modifica | modifica el codi]

Per obtenir la solució de l'equació no homogènia, cal trobar una solució particular y P (x) o bé pel mètode de dels coeficients indeterminats o bé pel mètode de variació dels paràmetres; la solució general a l'equació diferencial lineal és la suma de la solució general de l'equació homogènia més la solució particular.

Suposant que cal resldre

Per conveniència posterior, es defineixi el polinomi característic

Es troba la solució base com en e cas homogeni (f(x)=0). Ara se cerca una solució particular yp(x) pel mètode de variació dels paràmetres. Siguin els coeficients de la combinació lineal de funcions de x:

Per a la facilitat de notació es treu la dependència de x (és a dir les diverses (x)). Fent servir la notació "operador" , l'EDO en qüestió és ; així

Amb les restriccions

els paràmetres es desplacen fora, amb una mica de "brutícia":

Però , per això

Això, amb les restriccions, dóna un sistema lineal en . Això sempre es pot resoldre; de fet, combinant La regla de cramer amb el Wronskià,

La resta és qüestió d'integrar

La solució particular no és única; també satisfà l'EDO per a qualsevol conjunt de constants cj.


Exemple[modifica | modifica el codi]

Suposant . Es pren la solució base trobada més amunt .

I)x de

Fent servir la llista d'integrals de funcions exponencials

I així

(Fixeu-vos que u 1 i u 2 tenien factors que anul·laven y 1 i y 2; això és típic.)

Aquesta EDO té una interpretació física com un oscil·lador harmònic esmorteït forçat; yp representa el règim permanent, i és el transitori.

Equació amb coeficients variables[modifica | modifica el codi]

Una EDO lineal d'ordre n amb coeficients variables té la forma general

Exemples[modifica | modifica el codi]

Un exemple simple és l'Equació de Cauchy–Euler que sovint es fa servir en enginyeria

Equació de primer ordre[modifica | modifica el codi]

Exemples

Resoldre l'equació

amb la condició inicial

Fent servir el mètode de solució general:

La integral indefinida es resol i dóna:

Llavors es pot reduir a:

on κ és 4/3 a partir de la condició inicial.

Una EDO lineal d'ordre 1 amb coeficients variables té la forma general

Les equacions d'aquesta forma es poden resoldre multiplicant el factor integrant

per obtenir

que se simplifica degut a la regla del producte a

que, integrant els dos costats, dóna

En altres paraules: La solució d'una EDO lineal de primer ordre

amb coeficients que poden variar o no amb x, és:

on és la constant d'integració, i

Exemples[modifica | modifica el codi]

Considereu una equació diferencial de primer ordre amb coeficients constants:

En aquest cas p (x) = b, r (x) = 1.

Per això la seva solució és

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Notes[modifica | modifica el codi]

  1. Gershenfeld 1999, p.9
  2. Robinson 2004, p.5
  3. Robinson 2004, p.7


Referències[modifica | modifica el codi]

  • Birkhoff, Garret and Rota, Gian-Carlo. Ordinary Differential Equations. Nova York: John Wiley and Sons, Inc., 1978. ISBN 0-471-07411-X. 
  • Gershenfeld, Neil. The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, Uk.: Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0521-570954. 
  • Robinson, James C.. An Introduction to Ordinary Differential Equations. Cambridge, Uk.: Cambridge University Press, 2004. ISBN 0-521-826500.