Equació exponencial

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

Una equació exponencial és aquella equació en què la incògnita apareix, únicament, en els exponents de potències de bases constants.[1] La incògnita pot aparèixer en l'exponent d'un o més termes, en qualsevol membre de l'equació. És a dir, una constant està elevada a una funció de la incògnita a aclarir, usualment representada per . Per resoldre aquestes equacions s'utilitzen les propietats de la potenciació, la radicació dels logaritmes i canvi de la incògnita per una altra.

Definició[modifica]

Sigui un nombre real fixe, positiu i diferent de 1, llavors l'equació es denomina equació exponencial elemental.[2]

Formes de resolució[modifica]

Depèn del tipus d'equació exponencial de què es tracti, hi ha diverses formes de resoldre-la, pel seu nivell de complexitat. Les més fàcils són per simple inspecció, és a dir, es descompon la part numèrica en els seus factors primers i aplicant logaritme a banda i banda de la igualtat. A continuació, es brinden alguns exemples.

Igualació de bases[modifica]

Sigui l'equació de l'exemple següent:

Si el primer membre només té un terme i el terme del segon membre és potència de la base del terme del primer membre, llavors el segon membre s'expressa com a potència de la base de l'expressió que conté la incògnita. En l'exemple, 16 és potència de la base dues de .

Després, aplicant la següent propietat: , llavors:

Canvi de variables[modifica]

Donada l'equació exponencial de l'exemple següent:

Se simplifica la seva escriptura:

S'aplica el canvi de variable i s'escriu:

Ara, en reemplaçar, es té:

S'aïlla :

i finalment, es desfà el canvi de variable:

Passant a una algebraica[modifica]

Donada l'equació:[3]

se simplifica:

Després se substitueix , amb això s'aconsegueix una equació de segon grau:

Si es resol l'equació de segon grau s'aconsegueixen els següents resultats: ; . L'última solució és impossible, atès que . Per tant, només pot ser la solució :

Utilitzant logaritmes[modifica]

Article principal: logaritme binari

Donada l'equació:

S'aplica el logaritme a banda i banda de l'equació:

Per propietats dels logaritmes, s'obté:

Operant:

Finalment, s'aïlla i es resol:

Canvi de base de les potències[modifica]

Donada l'equació:

Es passen les potències de base 4 i 8 a potències de base 2, com també , es té:

Igualant els exponents:

Finalment:

Equacions exponencial més complexes[modifica]

Quan la incògnita es troba en l'índex d'una arrel, també se la considera exponencial, ja que es pot rescriure com a potència amb exponent fraccionari. Sigui l'equació:

Noti's que la variable es troba també en líndex de l'arrel. Per les propietats de la radicació, es reescriu com:

S'aplica el mètode d'igualació de bases:

Igualant els exponents:

Operant i aïllant:

Altres aplicacions de les equacions exponencials[modifica]

Consideri's la següent equació:

Noti's que els diferents termes formen part d'una progressió geomètrica. Per resoldre aquesta suma dels termes d'una progressió geomètrica, sabent que aquesta progressió té 5 termes:

Se substitueixen els nombres a la fórmula:

Se simplifica:

Igualant les bases:

Resolent:

El mateix raonament és aplicable per a qualsevol progressió geomètrica.

L'interès compost[modifica]

Si representa el capital invertit a una taxa de per cent anual, i denota el nombre de vegades a l'any que s'acumula l'interès, llavors la suma acumulat després de anys es calcula mitjançant la fórmula:[4]

El valor de s'avalua mitjançant logaritmes.

També en el cas de la desintegració de cert material radioactiu es compleix la fórmula:

On:

  • está en grams (g)
  • en anys
  • en grams (g)
  • és una constant de variació de la quantitat de substància respecte a la seva massa.[5]

Funció exponencial[modifica]

Article principal: Funció exponencial

Les equacions exponencials també sorgeixen quan es volen calcular arrels o punts particulars de les funcions exponencials. En la funció exponencial , per saber en quin punt la seva gràfica talla l'eix d'ordenades, s'ha de plantejar l'equació:

Operant s'arriba a la conclusió que .

Si es vol saber en quin punt de l'eix d'abscisses la gràfica intersecta l'eix d'ordenades en el punt 1, es planteja:

Un altre exemple:

Trobar el valor de si i

Referències[modifica]

  1. Manual de matemática (1985) Tsipkin; Editorial Mir, Moscú, traducción de Shapovalova, pg. 170
  2. Potápov- Alexándrov-Pasichenko: Álgebra y análisis de funciones elementales, Editorial Mir Moscú ( 1986)
  3. Álgebra y principios de análisis parte I (1981) Diigido por Yakovliev, Editorial Mir, MoscúTraducido por Samojválov, pg. 208
  4. Algebra moderna y trigonometría (198) Dolciani con Berman y Wooton, Publicaciones Cultural, S.A. México D.F. pg.,361
  5. Ibídem, pg. 364

Vegeu també[modifica]