Equació de Pauli

En mecànica quàntica, l'equació de Pauli o equació de Schrödinger-Pauli és la formulació de l'equació de Schrödinger per partícules de spin ½, que té en compte la interacció de l'spin de la partícula amb un camp electromagnètic extern. Aquesta equació és el límit no relativista de l'equació de Dirac, i es pot utilitzar quan les partícules es mouen a velocitats molt inferiors a la velocitat de la llum, de manera que els efectes relativistes són negligibles. Va ser formulada per Wolfgang Pauli a l'any 1927.

L'equació

L'equació de Pauli és:

Equació de Pauli (general) $\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

on:

• $m\,$ és la massa de la partícula.
• $e\,$ és la càrrega elèctrica de la partícula.
• ${\hat {\boldsymbol {\sigma }}}$ és un «vector» on les tres components són precisament les matrius de Pauli bidimensionals.
• ${\hat {\mathbf {p} }}\,$ és l'operador vectorial associat al moment lineal. Les components d'aquest vector són $-i\hbar \partial _{x_{k}}$.
• $\mathbf {A} \ \$és el potencial vectorial del camp electromagnètic.
• $V\,$ és el potencial elèctric escalar.
• $|\psi \rangle$ és un espinor format per dos components, que es pot representar com:

. ${\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}$

Forma alternativa

Si es fan servir les propietats de les matrius de Pauli, es demostra fàcilment la següent igualtat:

$\left[{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}=\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+i{\hat {\boldsymbol {\sigma }}}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\times \left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)$

I com:

$\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\times \left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)=-{\frac {e}{c}}({\hat {\mathbf {p} }}\times \mathbf {A} +\mathbf {A} \times {\hat {\mathbf {p} }})=-{\frac {e}{c}}(-i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )=-{\frac {i\hbar e}{c}}\mathbf {B}$

L'equació es pot reescriure de la següent forma:

Equació de Pauli (forma estàndard) ${\hat {H}}|\psi \rangle =\left[{\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

Relació amb l'equació de Schrödinger i l'equació de Dirac

L'equació de Pauli no és relativista, sinó que incorpora l'spin. Com a tal, es pot considerar que ocupa el punt intermedi entre:

• L'equació familiar de Schrödinger (en una funció d'ona escalar complexa), que no és relativista i no prediu l'spin.
• L'equació de Dirac (en un espinor complex de quatre components), que és completament relativista (pel que fa a la relativitat especial) i prediu l'spin.

Tingueu en compte que a causa de les propietats de les matrius de Pauli, si el potencial del vector magnètic A és igual a zero, llavors l'equació es redueix a l'equació de Schrödinger coneguda d'una partícula en un potencial purament elèctric ϕ, excepte que opera en un espinor de dos components:

$\left[{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}.$

Per tant, podem veure que l'spin de la partícula només afecta el seu moviment en presència d'un camp magnètic.

Relació amb l'experiment de Stern–Gerlach

Els dos components de l'espinor satisfan l'equació de Schrödinger. Per a una partícula en un camp B aplicat externament, l'equació de Pauli és:

Equació de Pauli (Camp B) $\underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}\mathbf {|} \psi \rangle } _{\mathrm {Eq.~de~Schr{\ddot {o}}dinger} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \mathbf {|} \psi \rangle } _{\mathrm {Terme\,de\,Stern-Gerlach} }$

on

${\hat {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

és la matriu d'identitat 2 × 2, que actua com a operador de identitat. El terme de Stern-Gerlach pot obtenir l'orientació de l'spin dels àtoms amb un electró de valència, com per exemple, els àtoms de plata que flueixen a través d'un camp magnètic no homogeni. De manera anàloga, el terme de Stern-Gerlach és responsable de la divisió de les línies espectrals (corresponents als nivells d'energia) en un camp magnètic, com es pot veure en l'anòmal efecte Zeeman.