Equicontinuïtat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En anàlisi matemàtica, una família de funcions és equicontínua si totes les funcions són contínues i tenen una variació equivalent sobre un veïnat donat, en un sentit precís descrit. Concretament, aquest concepte s'aplica a famílies comptables, i, per tant, seqüències de funcions.

Explicació de l'equicontinuïtat[modifica | modifica el codi]

Siguin espai topològic, espai mètric, i un punt a . Un conjunt de funcions de a es diu equicontinu a si i només si per a tot entorn de tal que

En particular, si és equicontinu a , aleshores totes les funcions que pertanyen a són contínues a .

Direm que és equicontínua si ho és per a tot .

Exemples[modifica | modifica el codi]

  1. Si és una família finita de funcions contínues, aleshores és equicontínua.
  2. Si és mètric i totes les funcions de són Lipschitz contínues amb una mateixa constant , aleshores és equicontínua.
  3. Sigui espai mètric compacte, si és una successió de funcions contínues de a uniformement convergent, aleshores és equicontínua.
  4. Si , totes les funcions de són derivables, i existeix una constant tal que , aleshores es compleix que totes les funcions de són Lipschitz contínues de constant , i, per tant, és equicontinu.

Aquesta última propietat és una de les més utilitzades per verificar l'equicontinuitat d'una família de funcions.