Equivalència lògica

De Viquipèdia

En lògica i matemàtiques, enunciats i es diu que són lògicament equivalents si són demostrables entre si sota un conjunt d’axiomes,[1] o tenen el mateix valor de veritat en tots els models.[2] L'equivalència lògica de i de vegades s'expressa com , ,[3] , o , en funció de la notació que s’utilitzi. No obstant això, aquests símbols també s'utilitzen per a l' equivalència material, de manera que la interpretació adequada dependria del context. L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material, tot i que els dos conceptes estan intrínsecament relacionats.

Equivalències lògiques[modifica]

En lògica, existeixen moltes equivalències lògiques comunes i sovint es llisten com a lleis o propietats. Les següents taules il·lustren algunes d’aquestes.

Equivalències lògiques generals[3][modifica]

</br> Lleis d’identitat
</br> Lleis de dominació
</br> Lleis idempotents o de tautologia
Llei de doble negació
</br> Lleis commutatives
</br> Lleis associatius
</br> Lleis distributives
</br> Lleis de De Morgan
</br> Lleis d’absorció
</br> Lleis de negació
Lleis de negació

Equivalències lògiques que impliquen enunciats condicionals[modifica]

Equivalències lògiques que impliquen bicondicionals[modifica]

Exemples[modifica]

En lògica[modifica]

Les següents afirmacions són lògicament equivalents:

  1. Si Lisa és a Dinamarca, llavors és a Europa (una declaració del formulari ).
  2. Si Lisa no és a Europa, llavors no és a Dinamarca (una declaració del formulari ).

Sintàcticament, (1) i (2) són derivables entre si mitjançant les regles de contraposició i doble negació. Semànticament, (1) i (2) són certes exactament en els mateixos models (interpretacions, valoracions); és a dir, aquells en què Lisa és a Dinamarca és falsa o Lisa és a Europa és cert.

(Cal tenir en compte que en aquest exemple, se suposa la lògica clàssica. Algunes lògiques no clàssiques no consideren que (1) i (2) siguin lògicament equivalents.)

En matemàtiques[modifica]

En matemàtiques, dos enunciats i Se sol dir que són lògicament equivalents, si es poden demostrar entre si donant un conjunt d’axiomes i pressupòsits. Per exemple, la declaració " és divisible per 6 "es pot considerar equivalent a l'enunciat" és divisible per 2 i 3 ", ja que es pot demostrar el primer a partir del segon (i viceversa) utilitzant alguns coneixements de la teoria bàsica de números.[4]

Relació amb l'equivalència material[modifica]

L'equivalència lògica és diferent de l'equivalència material. Fórmules i són lògicament equivalents si i només si l'enunciat de la seva equivalència material ( ) és una tautologia.[5]

L'equivalència material de i (sovint escrit com ) és en si mateixa una altra afirmació en el mateix llenguatge objecte que i . Aquesta afirmació expressa la idea "' si i només si '". En particular, el valor de veritat de pot canviar d’un model a un altre.

D'altra banda, l'afirmació que dues fórmules són lògicament equivalents és una afirmació en metallenguatge, que expressa una relació entre dues afirmacions i . Les afirmacions són lògicament equivalents si, en cada model, tenen el mateix valor de veritat.

Referències[modifica]

  1. «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Equivalent Claim» (en anglès americà). Math Vault, 01-08-2019. [Consulta: 24 novembre 2019].
  2. Mendelson, Elliott. Introduction to Mathematical Logic. 2a edició, 1979, p. 56. 
  3. 3,0 3,1 «Mathematics | Propositional Equivalences» (en anglès americà). GeeksforGeeks, 22-06-2015. [Consulta: 24 novembre 2019].
  4. «The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Equivalent Claim» (en anglès americà). Math Vault, 01-08-2019. [Consulta: 24 novembre 2019].
  5. Copi, Irving. Introduction to Logic. New International. Pearson, 2014, p. 348. 

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]