Espai afí

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un espai afí és una estructura que generalitza el concepte d'espai euclidià. Històricament, la noció d'espai afí neix del problema creat per l'aparició de noves geometries, perfectament coherents, però diferents de la d'Euclides, i del seu axioma del paral·lelisme. Per aconseguir la seva l'harmonització, va caldre redefinir el concepte d'espai euclidià, excloent-hi el concepte de distància, i tot el que això representa, com longitud i angle. El resultat de tot això, va ser una geometria afí, on l'espai apareix com una estructura algebraica, molt propera a espai vectorial, del que n'ha estat alliberat posteriorment, donant lloc a l'àlgebra lineal.

Història[modifica | modifica el codi]

La demostració del cinquè postulat d'Euclides va originar la creació de les anomenades geometries no-euclidianes. Durant aquesta revolució Euler va desenvolupar una nova geometria basada únicament en certs teoremes basats en els postulats I,II,V d'Euclides, d'aquesta formulació va esdevenir la geometria Afí.

Estudiada primerament per Euler i, de gran importància actual, ja que és utilitzada en la Geometria de Minkowski de l'espai-temps, amb la geometria Afí ens aproximem al que passa en l'espai físic, on aparentment, no hi ha punts millors que altres. En aquesta geometria estudiarem objectes com rectes i plans y propietats com el paral·lelisme que respon a conceptes estudiats fa temps en geometria.

Definicions[modifica | modifica el codi]

1a definició d'espai afí[modifica | modifica el codi]

Un espai afí sobre un cos és el triplet on:

  • és un conjunt no buit: .
  • és una aplicació , que anomenarem estructural, i que compleix:

1.

2.

, .

Notarem

i escriurem que i són l'origen i l'extrem del vector . Amb aquesta notació, la segona propietat de l'aplicació estructural es pot escriure com:

Els elements del conjunt es diuen punts. es diu espai vectorial associat a i definim la dimensió de com la dimensió de

2ª definició d'espai afí[modifica | modifica el codi]

Un resultat que ens proporciona una caracterització equivalent d'un espai afí però més còmode en segons quines circumstàncies, és que tot espai afí es pot definir com a conjunt de translacions.


Sigui un espai Afí. Donat , anomenarem translació de vector a l'aplicació:


És a dir, és un punt tal que


PROPIETATS:

1)

2) Si existeix tal que , aleshores

3)Donat . Existeix un, i només un tal que

Exemples d'espais afins[modifica | modifica el codi]

  • Els sistemes d'equacions tenen estructura afí, on les solucions dels sistemes homogenis són elements de l'espai vectorial associat i les solucions particulars del sistema general són punts.
  • L'espai afí definit pel triplet on definim per .

És l'espai afí de dimensió 2, o sigui, el pla afí.

  • De forma més general, si és un cos qualsevol, l'espai afí canònic sobre de dimensió n és el triplet:

on és vist a la vegada com un espai de punts i un -espai vectorial, i l'aplicació està definida per:

Varietats lineals[modifica | modifica el codi]

Sigui un espai afí. Sigui un punt qualsevol, i un subespai vectorial de . Es diu varietat lineal que passa per i té la direcció de , el subconjunt de

Aquesta varietat lineal es pot designar per: .

PROPIETATS:


1. Si  
2. Si 

Intersecció i suma de varietats lineals[modifica | modifica el codi]

Intersecció[modifica | modifica el codi]

La intersecció de dues varietats lineals, si no és buida, és una varietat lineal. Aquesta afirmació és una conseqüència de les següents proposicions:

  1. Dues varietats i es tallen si i només si

Dibuix de dos plans, '"`UNIQ--postMath-0000003C-QINU`"' i '"`UNIQ--postMath-0000003D-QINU`"', que es tallen en una recta on hi ha un punt c que pertany als dos plans.
  1. Si dues varietats i tenen un punt en comú, aleshores

Suma de varietats lineals[modifica | modifica el codi]

La unió de dues varietat lineals no és, en general, una varietat lineal. En el seu lloc, pot considerar-se la varietat mínima que conte un conjunt de varietats lineals donandes i que es defineix com, considerant i :

on és l'espai vectorial generat pel vector . Aquesta varietat mínima o generada per i s'anomena també varietat suma de i . En aquest cas notarem .

Fórmula de Grassman per varietats lineals[modifica | modifica el codi]

Les proposicions d'aquesta secció amb la definició de varietat suma o mínima ens permeten relacionar les dimensions resultants de les interseccions i sumes de varietats lineals de forma anàloga a les fórmules de Grassmann vectorials. Siguin i dues varietats lineals.

  1. Si :

  1. Si :

Noció de paral·lelisme[modifica | modifica el codi]

En un espai afí , dues varietats lineals són paral·leles si o .

Cinquè axioma d'Euclides : En un espai afí, donat un punt i una direcció qualsevol , existeix una única varietat que passa pel punt , i té a com a direcció.


Referències i notes[modifica | modifica el codi]

Castellet, Manuel; Llerena, Irene. Universitat Autònoma de Barcelona. Àlgebra lineal i geometria, 2005. ISBN 84-7488-943-X.