Espai euclidià

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Un espai euclidià és un espai vectorial normat de dimensió finita, en què la norma és heretada d'un producte escalar.[1]

Primera aproximació[modifica | modifica el codi]

L'espai euclidià treu el seu nom del matemàtic grec Euclides.

Històricament, l'espai euclidià és només l'espai físic de 2 o 3 dimensions, el pla o l'espai, en el qual estan definits el punts.

Aquests espais euclidians naturals són els universos en què van ser demostrats tots els grans teoremes de la geometria plana o de l'espai. I són els objectes d'estudi de tots els geòmetres des d'abans d'Euclides fins al segle XIX.

En el segle XIX, aquesta visió de l'espai comença a mostrar els seus límits. I és, en aquest moment, que es va veure la necessitat de donar-li unes definicions més formals i més generals.

Definicions matemàtiques[modifica | modifica el codi]

Espai vectorial euclidià[modifica | modifica el codi]

Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial sobre , de dimensió finita n i dotat d'un producte escalar.

En qualsevol espai vectorial, sempre s'hi pot trobar una base ortonormal. En una tal base, es defineix el producte escalar canònic per:

.

Quan es té definit un producte escalar, és possible definir una norma, que s'anomena norma euclidiana:

i que també permet introduir la noció d'angle: l'angle geomètric entre dos vectors u, v no nuls, és un valor real comprès entre 0 i π, tal que:

Espai afí euclidià[modifica | modifica el codi]

Un espai afí euclidià és l'espai afí associat a un espai vectorial euclidià.

S'hi pot definir una distància, nocions de l'angle geomètric, s'hi retroba el teorema de Pitàgores i la propietat de la suma dels angles de qualsevol triangle.

Exemples d'espai vectorial euclidià[modifica | modifica el codi]

  • L'espai , amb el producte escalar euclidià:

és un espai vectorial euclidià de dimensió n.

és un espai euclidià de dimensió .

és també un espai euclidià amb una norma diferent.

Propietats dels espais euclidians[modifica | modifica el codi]

  • En tot espai euclidià, es pot definir una base ortonormal. Més concretament, si és una base de , existeix una base ortonormal, tal que per a tot entre 1 i n, es compleix que:
.

en què s'entén per la varietat lineal engendrada per aquells elements de la base.

  • Tot espai vectorial euclidià de dimensió és isomorf a .
  • Tot espai vectorial euclidià és complet. És, per tant, un cas particular d'espai de Banach.
  • Dos vectors amb producte escalar nul es diuen ortogonals. En tot subespai vectorial d'un espai euclidià es pot associar un únic subespai format per tots els vectors ortogonals a tots els vectors de , que és el seu ortogonal.
  • Si és un vector de , l'aplicació producte escalar per , és una forma lineal. L'aplicació que associa a és un isomorfisme de l'espai vectorial en el seu dual .
  • Si és un endomorfisme de , existeix un únic endomorfisme, que s'escriurà per i anomenat adjunt de , tal que:

Es defineix les nocions d'endomorfisme simètric si , i endomorfisme antisimètric si .

En una base ortonormal, la matriu de és la transposada de .

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. «espai d’Euclides». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.