Espai mesurable

De Viquipèdia
Salta a: navegació, cerca

Un espai mesurable és un parell ordenat format per un conjunt Ω i una σ-àlgebra sobre Ω.

En teoria de la probabilitat, el conjunt Ω s'anomena l'univers i els elements de s'anomenen els esdeveniments (en particular, s'anomena l'esdeveniment cert, i s'anomena l'esdeveniment impossible).

Exemples[modifica]

  • Sigui Ω un univers qualsevol; , on és el conjunt de les parts de Ω, és un espai mesurable. Aquest exemple és important, ja que si Ω és finit o numerable llavors la σ-àlgebra engendrada pels esdeveniments elementals és igual a .
  • Sigui Ω un univers qualsevol; és un espai mesurable ( és la σ-àlgebra trivial).
  • Quan Ω és un espai topològic, s'utilitza freqüentment l'espai mesurable , on és la σ-àlgebra de Borel sobre Ω.

En la pràctica, l'univers Ω es defineix en funció de l'experiment aleatori efectuat, i la σ-àlgebra s'escull en funció dels esdeveniments concernits pel problema.

Si es decideix treballar en la σ-àlgebra trivial, no es pot considerar més que l'esdeveniment cert i l'esdeveniment impossible. Quan l'univers és finit o enumerable, s'escull més sovint la σ-àlgebra discreta: .

En anàlisi, el terme «esdeveniment» té per a sinònim «part mesurable», o també «conjunt mesurable».

Quan, sobre un espai mesurable, es defineix una mesura, l'espai mesurable esdevé un espai de mesura (o un espai de probabilitat en el cas particular d'una mesura de probabilitat).