Espai prehilbertià

Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell , on és un espai vectorial sobre un cos i és un producte escalar en .
L'espai prehilbertià és un tipus d'espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita e aleshores és un espai euclidià.
Una condició necessària perquè un espai prehilbertià sigui un espai de Hilbert és que el cos base sigui o , així cap espai prehilbertià sobre pot ser un espai de Hilbert.
Definició[modifica]
Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos (Pot ser o ), el qual té una operació definida amb la següent funció:
anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:
- Si K = R, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:
- Aquesta condició implica que per a tot , perquè .
- Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:
- En el cas que el cos sigui aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.
- (Té sentit, ja que per a tot .)
- A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:
Normes en espais prehilbertians[modifica]
En els espais amb producte escalar es defineix una norma
La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x. A més es tracta d'una norma per complir les condicions:
- és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.
- Homogeneïtat: per a tot vector x i r un escalar:
- Desigualtat triangular: per a tot vector x i y
Usant els axiomes ja esmentats es poden demostrar els següents teoremes:
- Desigualtat de Cauchy-Schwarz: per x i y elements de V
- La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents
- Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
- La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz
- Teorema de Pitàgores: siguin x i y vectors ortogonals, aleshores
- Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definició de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.
- Una generalització fàcil del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:
- Si x 1 , ..., x n són vectors ortogonals, o sigui, < x j , x k > = 0 per a tot j , k diferent, llavors
Exemples[modifica]
- Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.
- Més generalment, qualsevol espai euclidià Rn amb el producte escalar és un espai amb producte intern.
- Es té la norma:
Bibliografia[modifica]
![]() |
Aquest article té bibliografia, però no se sap quina referència verifica cada part. Podeu millorar aquest article assignant cadascuna d'aquestes obres a frases o paràgrafs concrets. |
- Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right. 2nd. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.
- Emch, Gerard G.. Algebraic methods in statistical mechanics and quantum field theory. Wiley-Interscience, 1972. ISBN 978-0-471-23900-0.
- Young, Nicholas. An introduction to Hilbert space. Cambridge University Press, 1988. ISBN 978-0-521-33717-5.
Vegeu també[modifica]
Enllaços externs[modifica]
- Michiel Hazewinkel (ed.). Pre-Hilbert_space&oldid=15523. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.