Espai prehilbertià

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Interpretació geomètrica de l'angle que formen dos vectors defenit usant el producte escalar.

Un espai prehilbertià o espai prehilbert és un espai vectorial proveït d'un producte escalar. Més concretament, és un parell , on és un espai vectorial sobre un cos i és un producte escalar en .

L'espai prehilbertià és un tipus d'espai mètric amb la mètrica induïda per la norma que es pot definir a partir del producte escalar. Un espai prehilbertià que a més sigui un espai complet és un espai de Hilbert o hilbertià. Si és de dimensió finita e aleshores és un espai euclidià.

Una condició necessària perquè un espai prehilbertià sigui un espai de Hilbert és que el cos base sigui o , així cap espai prehilbertià sobre pot ser un espai de Hilbert.

Definició[modifica | modifica el codi]

Formalment, un espai prehilbertià és un espai vectorial V sobre un cos (Pot ser o ), el qual té una operació definida amb la següent funció:

anomenada producte escalar, que satisfà certs axiomes:

Si K = R, la propietat de hermítica és la simetria ordinària:
Aquesta condició implica que per a tot , perquè .
Combinant aquesta propietat amb la de ser hermítica:
En el cas que el cos sigui aquesta propietat implica que el producte escalar és bilineal.
(Té sentit, ja que per a tot .)
A més, l'únic vector que en fer el producte escalar amb ell mateix és zero, és el vector nul. Això s'expressa així:

Normes en espais prehilbertians[modifica | modifica el codi]

En els espais amb producte escalar es defineix una norma

La norma està ben definida, per ser sempre el producte escalar d'un vector per si mateix un nombre real més gran o igual que zero. A espais euclidians defineix la "longitud" del vector x. A més es tracta d'una norma per complir les condicions:

  • és sempre positiva i val zero si i només si x val zero.

Usant els axiomes ja esmentats es poden demostrar els següents teoremes:

La igualtat es compleix si i només si x i i són linealment dependents
Aquesta és una de les més importants desigualtats en la matemàtica. També és coneguda en la literatura matemàtic russa com la desigualtat Cauchy-Bunyakowski-Schwarz
La prova d'aquest teorema i les seves aplicacions poden trobar al article sobre la desigualtat de Cauchy-Schwarz
Aquestes últimes dues identitats només requereixen expressar la definició de la norma en termes del producte intern, fer les operacions i usar els axiomes de norma.
Una generalització fàcil del teorema pitagòric que pot ser provada per inducció és la següent:
  • Si x 1 , ..., x n són vectors ortogonals, o sigui, < x j , x k > = 0 per a tot j , k diferent, llavors

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Un exemple trivial són els nombres reals amb la multiplicació estàndard com a producte intern.
  • Més generalment, qualsevol espai euclidià Rn amb el producte escalar és un espai amb producte intern.
Es té la norma:

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]