Tensor d'inèrcia

El tensor d'inèrcia és un tensor simètric d'ordre 2 que caracteritza l'inèrcia rotacional d'un sòlid rígid. Expressat en una base de l'espai, pren la forma d'una matriu simètrica, on els elements de la diagonal són el moments d'inèrcia i els elements de fora la diagonal són els productes d'inèrcia.

Definició

Suposem que tenim un sòlid rígid, i elegim un punt de l'espai $A$ (que pot o no pertànyer al sòlid) a on calcularem el tensor d'inèrcia. Per referir-nos als punts de l'espai farem servir la base $\{\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}\}$ que té origen de coordenades $A$. D'aquesta manera, qualsevol punt del sòlid es pot escriure com:

$\mathbf {x} =x_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+x_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+x_{3}\mathbf {\hat {e}} _{3}$

Anomenarem $V$ a la regió de l'espai que ocupa el sòlid, i considerarem que $\rho (\mathbf {x} )$ és la densitat de massa del punt $\mathbf {x}$. Amb tot això, les components del tensor d'inèrcia en aquesta base vénen donades per la següent expressió:

$(\mathbb {I} _{A})_{ij}=\int _{V}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \;\rho (\mathbf {x} )(\delta _{ij}\sum _{k=1}^{3}x_{k}^{2}-x_{i}x_{j})$

Si en lloc de treballar en componenents fem servir la notació matricial, tenim que:

$\mathbb {I} _{A}=\int _{V}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \;\rho (\mathbf {x} )(\mathbf {x} ^{2}\mathbf {I} -\mathbf {x} \otimes \mathbf {x} )$

On en aquest cas $\mathbf {I}$ és la matriu identitat 3x3, i el símbol $\otimes$ representa el producte tensorial de dos vectors.

Motivació

La definició anterior pot semblar complicada i arbitrària, però veurem el paper fonamental que juga en la mecànica del sòlid rígid.

Moment angular

Suposem que un sòlid rígid gira amb velocitat angular ${\boldsymbol {\omega }}$, i volem calcular el seu moment angular respecte el punt $A$. Llavors, es compleix que:

$\mathbf {L} _{A}=\mathbb {I} _{A}{\boldsymbol {\omega }}$

És important notar que en general el moment angular no és paral·lel a la velocitat angular, ja que el tensor d'inèrcia és, en general, una matriu complicada.

Energia cinètica

Fem les mateixes suposicions que abans, i obtenim que l'energia cinètica del sòlid respecte el punt $A$ és:

$T_{A}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbb {I} _{A}{\boldsymbol {\omega }})$