Llei del paral·lelogram

Un paral. Els costats d'aquest estan mostrats en color blau i les diagonals en vermell.

En matemàtiques, la forma més simple de la llei del paral·lelogram pertany a la geometria elemental. Aquesta postula que la suma dels quadrats de les longituds dels quatre costats d'un paral·lelogram és igual a la suma dels quadrats de les longituds de les dues diagonals del mateix. Utilitzant la notació del paral·lelogram mostrat en la figura de la dreta, es pot escriure matemàticament com:

$(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}.\,$

En el cas que el paral sigui un rectangle, les dues diagonals són iguals i la llei es redueix al teorema de Pitàgores. Però en general, no es compleix que el quadrat d'una diagonal sigui igual a la suma dels quadrats de dos costats.

Llei del paral per a espais amb producte intern

Dins dels espais proveïts de producte escalar, la definició de la llei del paral·lelogram es redueix a la identitat algebraica

$2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}$

on

$\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,$

és el producte escalar normat.

Espais vectorials normats que satisfan la llei del paral·lelogram

La majoria de espais vectorials normats reals i complexos no tenen producte intern, però tots els espais vectorials normats tenen norma (per definició), i per tant es poden avaluar les expressions a banda i banda del "=" de la identitat anterior. Un fet notable és que si la identitat anterior es manté, aleshores la norma ha de sorgir de la manera habitual d'algun producte intern. A més, el producte intern que es genera mitjançant la norma és únic, com a conseqüència de la identitat de polarització, en el cas real, aquest ve donat per

$\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},\,$

o, equivalentment, per

${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2}\ \ {\rm {{\acute {o}}\ \ {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.\,}}$

En el cas complex, aquest ve donat per

$\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.$

Vegeu també

• Paral·lelogram
• Desigualtat triangular

Enllaços externs

• Parallelogram Law Proven Simply a Kappa Sigma
• The Parallelogram Law: A Proof Without Words En cut-the-Knot
• Proof of Parallelogram Law a Math
• Weisstein, Eric W., «Parallelogram Law» a MathWorld (en anglès).