Tensor d'inèrcia: diferència entre les revisions
Línia 7: | Línia 7: | ||
{{equació|1=<math>I_{ij} = \int_V \rho(\mathbf x) ( \delta_{ij} \sum_{k=1}^3 x_k^2 - x_i x_j) \, \mathrm d^3 x </math> |2= |3=}} |
{{equació|1=<math>I_{ij} = \int_V \rho(\mathbf x) ( \delta_{ij} \sum_{k=1}^3 x_k^2 - x_i x_j) \, \mathrm d^3 x </math> |2= |3=}} |
||
Si en lloc de treballar en componenents fem servir la notació matricial, tenim que: |
|||
{{equació|<math>\mathbf{I} = \int_V \rho(\mathbf x) (\mathbf x^2 \mathbf 1 - \mathbf x \otimes \mathbf x) \, \mathrm d^3 x </math>}} |
|||
On en aquest cas <math>\mathbf 1</math> és la [[matriu identitat]] 3x3, i el símbol <math>\otimes</math> representa el [[producte tensorial]] de dos vectors. |
|||
== Motivació == |
== Motivació == |
Revisió del 01:40, 27 oct 2012
El tensor d'inèrcia és un tensor simètric d'ordre 2 que caracteritza l'inèrcia rotacional d'un sòlid rígid. Expressat en una base de l'espai, pren la forma d'una matriu simètrica, on els elements de la diagonal són el moments d'inèrcia i els elements de fora la diagonal són els productes d'inèrcia.
Definició
Suposem que tenim un sòlid rígid, i elegim un punt de l'espai (que pot o no pertànyer al sòlid) a on calcularem el tensor d'inèrcia. Per referir-nos als punts de l'espai farem servir la base que té origen de coordenades . D'aquesta manera, qualsevol punt del sòlid es pot escriure com:
Anomenarem a la regió de l'espai que ocupa el sòlid, i considerarem que és la densitat de massa del punt . Amb tot això, les components del tensor d'inèrcia en aquesta base vénen donades per la següent expressió:
Motivació
La definició anterior pot semblar complicada i arbitrària, però veurem el paper fonamental que juga en la mecànica del sòlid rígid.
Moment angular
Suposem que un sòlid rígid gira amb velocitat angular , i volem calcular el seu moment angular respecte el punt . Llavors, es compleix que:
És important notar que en general el moment angular no és paral·lel a la velocitat angular, ja que el tensor d'inèrcia és, en general, una matriu complicada.
Energia cinètica
Fem les mateixes suposicions que abans, i obtenim que l'energia cinètica del sòlid respecte el punt és: