Partició (matemàtiques)

Partició del cercle en 6 parts{A ₁ , ... , A ₆ }

En matemàtica, la família de subconjunts {A _i : i ∈ I} d'un conjunt A és una partició (sobre A) si es compleix que:

1. $A_{i}\neq \emptyset$ per a tot $i\in I$.
2. $\bigcup _{i\in I}A_{i}=A$.
3. $A_{i}\cap A_{j}\neq \emptyset \Rightarrow A_{i}=A_{j}$.

Per tant, es tracta d'un recobriment en el qual els subconjunt s pertanyents a la família, dos a dos, són disjunts (és a dir, el seu intersecció és buida).

Exemples

• Tot conjunt d'un element { x } té exactament una partició: { { x } }.
• Per a qualsevol conjunt no buit X , P = { X } és una partició de X .
• El conjunt {1, 2, 3} té aquestes 5 particions:
  • { {1},{2},{3} }, de vegades expressada 1/2/3.
  • { {1, 2},{3} }, de vegades expressada 12/3.
  • { {1, 3},{2} }, de vegades expressada 13/2.
  • { {1},{2, 3} }, de vegades expressada 1/23.
  • { {1, 2, 3} }, de vegades expressada 123.
• Observeu que
  • { {},{1,3},{2} }, no és una partició (ja que conté el conjunt buit).

El nombre de particions d'un conjunt finit

El nombre de Bell B _n , anomenat així en honor a Eric Temple Bell, és el nombre de particions diferents d'un conjunt finit amb n elements. Els primers nombres de Bell són:

B ₀ = 1, B ₁ = 1, B ₂ = 2, B ₃ = 5, B ₄ = 15, B ₅ = 52, B ₆ = 203 OEIS:successió

Els nombres de Bell satisfan la següent relació recursiva: $B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}$.

Preparant la fusió

Una partició d'un conjunt A, és una subdivisió en diversos subconjunts no buits, de forma que tots els elements de A es troben a un, i només un, dels subconjunts.

Per exemple, si tenim el conjunt A={1,2,3,a,b,c}, una possible partició seria: B={1}, C={2,a}, D={b,c} i E={3}.

Propietats característiques de la partició

La unió de tots els subconjunts que formen la partició és igual al conjunt de referència.

$B\cup C\cup D...=A$, sent B,C,D... els subconjunts que particionen A.

Els subconjunts que formen la partició són disjunts dos a dos:

$B\cap C=B\cap D=C\cap D=\dots =\emptyset$, sent B,C,D... els subconjunts que particionen A.

Nombre de particions possibles d'un conjunt finit

Tot conjunt finit té un nombre finit de particions possibles. Aquestes particions es poden determinar mitjançant combinatòria.

Per exemple, donat el conjunt {1,2,3,4}, aquestes són totes les particions possibles:

1 subconjunt: {1,2,3,4}

2 subconjunts: {1}{2,3,4}; {2}{1,3,4}; {3}{1,2,4}; {4}{1,2,3}; {1,2}{3,4}; {1,3}{2,4}; {1,4}{2,3}

3 subconjunts: {1,2}{3}{4}; {1,3}{2}{4}; {1,4}{2}{3}; {2,3}{1}{4}; {2,4}{1}{3}; {3,4}{1}{2}

4 subconjunts: {1}{2}{3}{4}

Vegeu també

• recobriment (matemàtiques)