Teorema dels quatre quadrats

El teorema dels quatre quadrats de Lagrange, també anomenat teorema de Bachet, va ser demostrat en 1770 per Joseph Louis Lagrange. Diu que qualsevol enter positiu és la suma de quatre quadrats enters.

Per exemple:

$3=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}$

$31=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}$

$310=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}$

Més formalment, par a cada enter positiu n existeixen nombres enters no negatiu a,b,c,d tal que $n=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$. Adrien-Marie Legendre va millorar el teorema en 1798 demostrant que un enter positiu pot expressar-se com la suma de tres quadrats si no és de la forma $4^{k}(8m+7)$.

La seva prova era incompleta, deixant un buit que després va omplir Carl Friedrich Gauss. En 1834, Carl Gustav Jakob Jacobi va trovar la fórmula exacta per a el número total de maneres que un nombre enter positiu n donat pot representar-se com la suma de quatre quadrats. Aquest numero es vuit cops la suma dels divisors de n si n és imparell i 24 cops la suma dels divisors imparells de n si n és parell.

El teorema dels quatre quadrats de Lagrange és un cas especial del teorema del número poligonal de Fermat i del problema de Waring.

Una altre generalització possible és: donats els nombres naturals a, b, c, d, es podria resoldre:

$n=a{x_{1}}^{2}+b{x_{2}}^{2}+c{x_{3}}^{2}+d{x_{4}}^{2}$

on $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ corresponen a nombres naturals positius.

El cas $a=b=c=d=1$ es contesta pel teorema dels quatre quadrats.

Rāmānujan va donar la solució general, demostrant que si assumim, sense pèrdua de generalitat, que $a\leq b\leq c\leq d$, llavors hi han exactament 54 opcions possibles per a, b, c, i d, tal que l'equació és soluble en nombres enters $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ per a tota n. De fet, Ramanujan va catalogar una 55ena possibilitat $a=1$, $b=2$, $c=5$, $d=5$, però en aquest cas l'equació no és resoluble si $n=15$.