Teorema de Bayes

El teorema de Bayes, és un dels teoremes més emprats a la teoria de la probabilitat. Descobert per Thomas Bayes és una manera particular de relacionar dues probabilitats per tal de demostrar la relació entre la probabilitat d'un esdeveniment condicionada al succés d'un segon esdeveniment i la probabilitat d'aquest segon esdeveniment condicionada al succés del primer, és a dir, entre $P(A|B)$ i $P(B|A)$.

Sigui $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ una partició de l'espai E i sigui B un esdeveniment qualsevol. De l'expressió de la probabilitat condicionada, si $P(B)!=0$ es defineix la probabilitat del succés A condicionada a B tal com:

$P(A_{1}|B)={\frac {P(B|A_{1})P(A_{1})}{P(B)}}$

ens dóna la probabilitat de A sabent d'entrada que s'ha verificat el succés B i, per tant:

$P(A_{1}|B)={\frac {P(B|A_{1})P(A_{1})}{\sum _{i=1}^{n}P(B|A_{i})P(A_{i})}}$

Aquesta manera de relacionar les probabilitats condicionades $P(A_{i}|B)$ i $P(B|A_{j})$ del primer i darrer termes de la igualtat s'anomena fórmula de Bayes, essent particularment útil.

Formes alternatives del teorema de Bayes

Teorema de Bayes per a funcions de densitat de probabilitat

Existeix una versió del teorema de Bayes que pot aplicar-se a variables aleatòries contínues. Derivar aquesta forma del teorema és més complexe matemàticament, però l'expressió del teorema és tan senzilla com la presentada anteriorment:

$f(x|y)={\frac {f(x,y)}{f(y)}}={\frac {f(y|x)\,f(x)}{f(y)}}\!$

També podem expressar el teorema de la següent manera:

$f(x|y)={\frac {f(y|x)\,f(x)}{\int _{-\infty }^{\infty }f(y|x)\,f(x)\,dx}}.\!$

La nomenclatura és la següent: f(x, y) és la funció de densitat conjunta de X i Y, f(x|y) és la densitat de X condicional a Y=y (de vegades també anomenada com a distribució a posteriori de X), f(y|x) =  i f(x) i f(y) són les funcions de densitat marginals d'X i Y respectivament (de vegades f(x) s'anomena la distribució a priori d'X).

Aquí hem abusat la notació lleugerament, ja que hem emprat f per tots aquests termes, tot i que cadascun és en realitat una funció diferent. Les funcions es poden distingir fàcilment pel nom dels seus arguments.